2.1　引言

随着信息技术的快速发展，获取信息越来越方便，获得的信息也越来越多。例如，在日常生活中，人们可以方便地用智能手机拍照、录音，如果手机容量不够大，手机的存储空间可能很快就会用完；在工业和军事上，高分辨雷达遥感成像、大规模传感器网络、高频宽带通信等会产生或传输大量的信息；人工智能新技术的应用更是需要大量的数据做支撑。因此，海量信息的传输和存储是很多领域迫切需要解决的问题。

一般而言，从自然界感知或获取的数据都需要进行模/数转换变为数字信号。根据Nyquist采样定理，采样频率需要高于信号带宽的2倍才能不失真地恢复原始信号，这样得到的数据存在大量的冗余信息。传统的方法是通过压缩编码去除冗余信息，有效降低数据量。之所以能够进行有效压缩，其中一个重要的原因是实际信号中可能只有很少的非零成分，大部分分量都为零或者接近零。信号的这种特性称为稀疏性（sparsity）。

图2-1显示的一段声音信号记录了一个短时间的撞击声。从图中可以看出，除短时间信号幅度较大外，其他大部分时间信号幅度都非常小，因此称这段信号具有稀疏性。

图2-1　一段声音信号，只有很短的瞬间有较大的非零值

如果一个信号具有稀疏性，就可以称这个信号是稀疏的。为了利用信号的稀疏性，需要找到信号合适的稀疏表示（Sparse Representation，SR），即采用某种特定的表示时，信号具有稀疏性。这种稀疏表示模型的核心思想[1]自1993年被明确提出后，就受到了广泛的关注，研究成果不断涌现。

从信号采样的角度来分析，如果能直接找到信号的稀疏表示，并对其进行适当的观测，就能达到直接从信号获取信息的目的，从而避免对冗余信息的存储和处理。这成为寻找新的采样理论的出发点。压缩感知（Compressed Sensing/Compressive Sampling，CS）理论[2]指出：对于存在稀疏表示的信号，可以利用一个与变换基不相干的观测矩阵对信号进行投影得到低维观测值。这个理论突破了Nyquist定理的限制，在实际系统构建中展现出了极大的优势，并为处理高维信号提供了新的思路。

本章围绕稀疏和压缩感知的核心处理方法，对稀疏的概念和表示方法以及压缩感知的原理和压缩感知域信号的处理方法等展开介绍。