三、例题解析

例1　（考研真题：2006年数学一）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d=__________.

解　本题直接利用点到平面距离公式

进行计算即可. 其中（x₀，y₀，z₀）为点的坐标，Ax＋By＋Cz＋D＝0为平面方程.

例2　已知向量a=3i－j＋5k，b=2i＋3j－7k，试求一向量x，使它与z轴垂直且满足x·a=5，x·b=－4.

解　设向量x=（x，y，z），由得x=（1，－2，0）.

例3　已知a、b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为若c₁=a×b，c₂=（c₁×a）×b，…，c_n＋1=（c_n×a）×b，求|c_n|.

解　由向量积定义可知由c₁⊥a，c₁⊥b，c₁×a与a，b共面，且c₁×a⊥b，故＝同理，

依次类推

例4　求通过三平面2x＋y－z＝2，x－3y＋z＋1=0和x＋y＋z－3=0的交点，且平行于平面x＋y＋2z＝0的平面方程.

解　所求平面平行于x＋y＋2z＝0，所以该平面的法向量为（1，1，2）.

三平面的交点为解得x＝1，y＝1，z＝1.

所以所求平面为（x－1）＋（y－1）＋2（z－1）=0，即

x＋y＋2z－4=0.

例5　求直线在平面x＋y＋z＝0上的投影直线方程.

解　过已知直线作垂直于平面x＋y＋z＝0的平面，称为投影平面，投影平面与已知平面的交线即为投影直线.

由平面束方程知，过直线的平面方程可设为

（x＋y－z－1）＋λ（y－x－z－1）=0，

即　（1－λ）x＋（1＋λ）y－（1＋λ）z－（1＋λ）=0.

上述平面与平面x＋y＋z＝0垂直，所以

（1－λ）·1＋（1＋λ）·1－（1＋λ）·1=0，

得到λ＝1·于是投影平面为

2y－2z－2=0，

即　y－z－1=0.

所求投影直线方程为

例6　求直线l：在平面π：x－y＋2z－1=0上的投影直线l₀的方程，并求l₀绕y轴旋转一周所成的曲面方程.

解　l的方程可写成所以过l的方程可写成

（x－y－1）＋λ（y＋z－1）=0，

即　x＋（λ－1）y＋λz－（1＋λ）=0.

因它与已知平面垂直，即1－（λ－1）＋2λ＝0，解得

λ＝－2，

所以过l与已知平面垂直的平面方程为x－3y－2z＋1=0，故l₀的方程为

于是l₀绕y轴旋转一周所成的曲面方程为

即　4x2－17y2＋4z2＋2y－1=0.