引理 XXVII

画出一个给定种类的不规则四边形，其四个角位于四条位置给定的直线上，它们不都平行且不都汇聚于一点，一个顶点位于一条直线上。

设四条直线ABC，AD，BD，CE的位置被给定；它们的第一条直线截第二条于A，截第三条于B，且截第三条于C；画出不规则四边形fghi，它与不规则四边形FGHI相似；且它的角f等于给定的角F，与直线ABC接触；其余的角g，h，i，与其余给定的角G，H，I相等，并分别与其余的直线AD，BD，CE接触。连结FH并在FG，FH，FI上画相同数目的圆弓形FSG，FTH，FVI；其中第一个弓形FSG能作出等于角BAD的角，第二个FTH能作出等于角CBD的角，且第三个FVI能作出等于角ACE的角。但是这些弓形应画在直线FG，FH，FI的那些方向，使字母FSGF的环形顺序与BADB的环形顺序相同，且使字母FTHF与字母CBDC，字母FVIF与字母ACEA转回的顺序相同。补足这些弓形为完整的圆，设P为第一个圆FSG的中心，且Q为第二个圆FTH的中心。连结PQ并向两个方向延长，又在其上取比PQ具有BC比AB之比的QR。但是QR在点Q的使字母P，Q，R与字母A，B，C顺序相同的方向上取得；又以R为圆心，以间隔RF画第四个圆FNc截第三个圆FVI于c。连结Fc截第一个圆于a，第二个圆于b。引［直线］aG，bH，CI，则能作与abcFGHI图形相似的图形ABCfghi。在这完成时，不规则四边形fghi就是所要求作的。

因为，前两个圆FSG，FTH相互截于K。连结PK，QK，RK，aK，bK，cK，并延长QP至L。圆周角FaK，FbK，FcK是圆心角FPK，FQK，FRK的一半，且因此等于那些角的一半LPK，LQK，LRK。所以图形PQRK与图形abcK等角且相似，且所以ab比bc如同PQ比QR，亦即，如同AB比BC。此外，由作图，角FaG，FbH，FcI等于角fAg，fBh，fCi。所以能完成与图形abcFGHI相似的图形ABCfghi。在这完成时，所作的不规则四边形fghi与不规则四边形FGHI相似，且其角f，g，h，i接触直线ABC，AD，BD，CE。此即所作。

系理 因此，可引一条直线，它的部分按顺序位于四条位置给定的直线之间，相互之比为给定的比。增大角FGH和GHI，直至直线FG，GH，HI位于一条直线上，且由在这种情形问题的作法，引直线fghi，它的部分fg，gh和hi，位于给定位置的四条直线AB和AD，AD和BD，BD和CE之间，它们的相互之比如同直线FG，GH，HI，且相互之间保持相同的顺序。同样的结果如此更为便捷。

延长AB至K，且BD至L，使得BK比AB如同HI比GH，又DL比BD如同GI比FG；再连结KL交直线CE于i。延长iL至M，使得LM比iL如同GH比HI，并引MQ与LB平行，交直线AD于g，又gi截AB，BD于f，h。我说图已作出。

因Mg截AB于Q，且AD截直线KL于S，又引AP平行于BD且交iL于P，则gM比Lh（gi比hi，Mi比Li，GI比HI，AK比BK）和AP比BL依照相同的比。DL在R被截，使得DL比RL按照那个相同的比，由于gS比gM，AS比AP和DS比DL成比例；由错比，AS比BL和DS比RL如同gS比Lh，由合分比（mixtim），BL－RL比Lh－BL如同AS－DS比gS－AS。亦即，BR比Bh如同AD比Ag，且因此如同BD比gQ。再由更比，BR比BD如同Bh比gQ，或fh比fg。但由作图直线BL以与G和H在FI上同样的比截于D和R：且因此BR比BD如同FH比FG。所以fh比fg如同FH比FG。由是gi比hi如同Mi比Li，亦即，如同GI比HI，显然直线FI，fi被相似地截于g和h，G和H。此即所作。

在这个系理的作法中，引LK截CE于i之后，延长iE至V，使得EV比Ei如同FH比HI，并引Vf平行于BD。如果以i为中心，间隔IH画圆截BD于X，并延长iX至Y，使得iY等于IF，再引Yf平行于BD，则回到同样的解。

先前雷恩和沃利斯曾想出这个问题的其他解法。