命题XXII 问题XIV

经过五个给定的点画出一条轨道。

设五个点A，B，C，P，D被给定。由它们中的某一点A往另外两个任意点B，C，它们被称为极，作直线AB，AC，又过第四点P引与这些直线平行的线TPS，PRQ。然后由两极B，C引过第五点D的两条无穷直线BDT，CRD，与最新引的TPS，PRQ（前者交前者且后者交后者）交于T和R。最后，对于直线PT，PR，作直线tr平行于TR，所截下的任意的Pt，Pr与PT，PR成比例；且如果过它们的端点t，r和极B，C作［直线］Bt，Cr交于d，那个点d位于所求的轨道上。因为那个点d（由引理XX）位于经过四点A，B，C，P的圆锥截线上；且直线Rr，Tt消失时，点d与点D重合。所以圆锥截线穿过五个点A，B，C，P，D。此即所证。

在给定的点中连结任意的三点A，B，C；且围绕它们中作为极的两点B，C，转动大小给定的角ABC，ACB，先应用股BC，CA于点D，然后用于点P，并标记点M，N，另两股BL，CL在每一情形在那里交叉。引无穷直线MN，并围绕它们的极B，C转动那些动角，使得股BL，CL或者BM，CM的交叉，它现在是m，总落在那条无穷直线MN上；且股BA，CA，或者BD，CD的交叉，它现在是d，画出所求的轨道PADdB。因为点d（由引理XXI）位于过点B，C的圆锥截线上；且当点m靠近点L，M，N时，点d（由作法）靠近点ADP。因此经过五个点A，B，C，P，D的圆锥截线被画出。此即所作。

系理1 因此，能便捷地引一直线，它与所得到的轨道在任何给定的点B相切。点d前进到点B，直线Bd将成为所求的切线。

系理2 因此轨道的中心、直径和通径亦可以求得，如按照引理XIX的系理2。

连结BP使前一作法变得更为简单，且那条直线，如果需要，则延长之，在其上取Bp比BP如同PR比PT；又过p引无穷直线pe与SPT平行，并在pe之上总取pe等于Pr；再引直线Be，Cr交于d。因为，由于Pr比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt按照相同的比；pe和Pr总相等。由这个方法发现轨道的点最为便捷，除非你愿意用机械的方法画出曲线，如按照第二种作法。