1.4 基础知识：进位制及其相互转换

1.4.1 二进制、十进制与r进制

进位计数制是一种用数码和数位（权）表示数值型信息的方法。一个数由一定数目的数码排列在一起组成，每个数码的位置规定了该数码所具有的数值等级——“权”，该位置也称为“数位”，可区分数码的个数称为“基值”。该计数制又称为以基值为进位的计数制，数位的“权”值是基值的幂，计数中，某一数位累计到基值后，向高数位进一；高数位的一，相当于低数位的基值大小。日常生活中，常见进位计数制有十进制（自然数）、十二进制（月）、二十四进制（昼夜）、六十进制（小时/分钟/秒）等。在计算机中，还有二进制、八进制和十六进制等。一般地，以后缀B表示二进制数，后缀O表示八进制数，后缀H表示十六进制数，后缀D表示十进制数，或者以（数码串）r表示一个r进制数，如图1.5所示。

基值为r的r进制数值N的表示方法为：

N=(dn-1dn-2…d2d1d0.d-1d-2…d-m)r。

该数表示的十进制大小为：

式中：m、n为正整数，n为整数的位数，m为小数的位数，di为r个数码0，1，…，r-1中的任意一个，r为基值，ri为数位的权值，小数点位于d0r0的后面。

1. 十进制

当r=10时，表示十进制数。在十进制数中，10个数码为0，1，…，9。逢十进一，其数位权值为10i。

示例14　(245.25)十=2×102+4×101+5×100+2×10-1+5×10-2。

2. 二进制

当r=2时，表示二进制数。在二进制数中，2个数码为0或1。逢二进一，其数位权值为2i。

示例15　(11110101.01)二=1×27+1×26+1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(245.25)十。

3. 八进制和十六进制

当r=8时，表示八进制数。在八进制数中，8个数码为0，1，…，7。逢八进一，其数位权值为8i。当r=16时，表示十六进制数。在十六进制数中，分别用A表示(10)十，用B表示(11)十，用C表示(12)十，用D表示(13)十，用E表示(14)十，用F表示(15)十。所以，16个数码为0，1，2，…，8，9，A，B，C，D，E，F。逢十六进一，其数位权值为16i。

示例16　(365.2)八=3×82+6×81+5×80+2×8-1=(245.25)十；

(F5.4)十六=F×161+5×160+4×16-1=(245.25)十。

1.4.2 进位制之间的相互转换

1. 其他进制转换到十进制

表1.1给出了4种进位制之间转换的对应关系。

一个用任意进制表示的数，都可用上述式1转换成十进制数。为便于计算，可采用如下方法：整数部分和小数部分分别按下述方法转换。

整数部分采用基值重复相乘法：按括号及优先级次序，计算从最高位开始，乘基值加次高位，结果再乘基值加次次高位，一直加到个位d0为止。

示例17　11110101 B=_____D。

解：

小数部分采用基值重复相除法：按括号及优先级次序，计算从最低位开始，除基值加高位，结果再除基值，一直加到小数点为止，最后再除基值。

示例18　0.F62B H=_____D。

解：N=0.F62B H=(((B÷16+2)÷16+6)÷16 +F)÷16=0.96159 D。

2. 十进制转换到其他进制

整数部分和小数部分分别转换：整数部分采用基值重复相除法，即除基值取余数方法，一直除到商等于0时为止，将所得的余数从下到上排列起来即为所要求的进位制数（参见示例19）。小数部分采用基值重复相乘法，即乘基值取整数方法（参见示例20）。十进制小数转换成二进制小数时，有时永远无法使乘积变成0，在满足一定精度的情况下，可以取若干位数作为其近似值。

示例19　215 D=_____B。

解：如图1.6（a）所示，不断除以基值2，直到商等于0时为止。将所得余数从下到上排列起来为11010111，便是该十进制数转换成二进制整数的结果，即215 D=11010111 B。

示例20　0.6875 D=_____B。

解：如图1.6（b）所示，小数部分不断乘以基值2，将得到的各位整数从上到下排列起来为0.1011，便是该十进制小数转换成二进制小数的结果，即0.6875 D=0.1011 B。

3. 二进制、八进制、十六进制转换

由于二进制权值2i、八进制权值8i=23i、十六进制权值16i=24i具有整指数倍数关系，即1位八进制数相当于3位二进制数，1位十六进制数相当于4位二进制数，故可按如下方法转换。

（1）二进制整数转换成八进制/十六进制整数的方法是：先将二进制整数从右向左每隔3位/4位分一组，再将每组按二进制数向十进制数转换的方法进行转换。

（2）二进制小数转换成八进制/十六进制小数的方法是：先将二进制小数从左向右每隔3位/4位分一组，最后一组若不足3位/4位，在该组后面补相应数量的0，凑成3位/4位，再将每组按二进制数向十进制数转换的方法进行转换。

示例21　10110101 B=265 O=B5 H。

解：第1步，将10110101按3位分组为10 110 101，按4位分组为1011 0101。

第2步，分别将每组转换成八进制数、十六进制数。

示例22　0.1011 B=0.54 O=0.B0 H。

解：第1步，将0.1011按3位分组为0.101 100，按4位分组为0.1011 0000。

第2步，分别将每组转换成八进制数。

分别将每一位八进制数转换成3位二进制数，每一位十六进制数转换成4位二进制数便可实现八进制数、十六进制数到二进制数之间的转换。