一、同轴旋转柱面间的速度场

在直拉法生长系统中的熔体内，管状切变区（m区）中的液流可以近似地看为同轴旋转柱面间（rotating coaxial annuli）的液流。

我们来讨论两同轴旋转柱面间的流体的运动，两柱面分别以角速度ω1和ω2同轴旋转。设柱面半径为R1，R2，而R2＞R1。引用柱坐标r，φ，z，使z轴与柱面的对称轴一致。由对称性，可以看出

在上述情况下，由附录二得到柱坐标中的纳维叶-斯托克斯方程为

其中第二方程有rn型的解，将这种形式的解代入后，确定n=±1，故有

根据边值条件可定出常数a，b，即在内、外柱面上的流体速度必须分别等于两柱面本身的速度，即v=R1ω1（当r=R1），v=R2ω2（当r=R2）。结果得到的速度场为

由上式可知，若ω1=ω2＝ω，则v=ωr，这表明流体和两柱面合为一体而旋转。若外柱面不存在（ω2=0，R2=∞）则。