三、旋转晶体下的边界层和边界层近似

1．速度边界层δv

根据旋转圆盘下流体中的速度场（图3-18），可以确定旋转圆盘下的速度边界层。

由图3-18可以看出，当ξ＝3.6时，H值达到0.8，十分近于H的极限值H（∞）＝0.89；而G降低到盘面的0.05；同时F值亦很小。于是我们可以定义ξ＝3.6为速度边界层的无量纲厚度，故速度边界层厚度可表示为

于是我们对旋转圆盘下的速度场可采用速度边界层近似（boundary layer approximation）。即将旋转圆盘下如图3-18所示的速度场近似地简化为：在边界层之外，径向速度vr、切向速度vφ为零，而轴向速度vz恒定（如式（3-73）所示）；而在边界层之内，轴向速度vz如式（3-74）所示，而vr，vφ亦异于零。

如果我们在晶体生长中采用速度边界层近似，对液流问题的处理就能简化，并且将生长过程中的搅拌效应只归结于对速度边界层厚度的影响，例如对直拉法生长中晶体旋转的搅拌效应，可通过（3-82）式归结为晶体的角速度ω对δv的影响。必须注意的是，关于速度边界层的定义有一定的任意性，不同的作者是不一致的。

2．温度边界层δT与浓度边界层δC

由图3-20可以看出，无量纲温度分布或无量纲浓度分布是普兰托数或斯密特数的函数，因而在盘面附近的无量纲温度梯度或无量纲浓度梯度亦为相应的无量纲数的函数。根据斯帕罗和格雷格的计算结果[22]，有

式中当N=P，则；当N=S，则。

我们虽然已在第一章第六节之二以及第二章第四节之四中分别引入了温度边界层和浓度边界层的概念，但对δT，δC并没有给出确切的定义。现在我们重新系统地讨论这一问题。

由图3-20，虽然可以方便地求得具有不同的物性参量ν，D，κ的流体在不同的工艺参量ω下的温场和浓度场。但是应用这一结果来分析直拉法生长系统中旋转晶体的搅拌效应仍然很不方便，因而有必要进一步采用边界层近似。

我们将图3-20所示的温场和浓度场近似地简化为，在边界层之外，流体中的温度和浓度是完全均匀的，分别为流体的平均温度和平均浓度；而在边界层内，近似地认为温度与浓度是线性地分布的，该直线的斜率就等于固液界面处的温度梯度和浓度梯度，如图1-16和图2-10。在图1-16和2-10中，实线是由较严格的理论得到的，虚线是作了边界层近似后的分布曲线。根据所作的边界层近似，要求在边界层内的温度分布曲线（直线）的斜率必须等于固液界面处的温度梯度和浓度梯度，即

由于，由式（3-77）、（3-83）、（3-84）以及，可得不同情况下δT，δC的表达式。

若普兰托数P和斯密特数S较小（N＜3×10-2）有

若普兰托数和斯密特数较大（N＞100）有

式中κ，D分别为热扩散系数和溶质扩散系数。式（3-88）和式（2-27）全同，而这里是从更普遍的情况下推导出来的。

式（3-85）～（3-88）是无量纲数N在较大和较小情况下的近似表达式。在一般情况下，δ与N的关系根据文献[22]的结果表示于图3-21。在图中N若为普兰托数P，则δ为温度边界层厚度δT；若N为斯密特数S，则δ为浓度边界层厚度δC。

由式（3-82）以及式（3-85）～（3-88）可以看出，晶体旋转对速度边界层、温度边界层、浓度边界层的影响都是相似的，边界层的厚度都与晶体角速度的平方根成反比。

最后我们讨论普兰托数和斯密特数对边界层厚度的影响。在图3-20中，不仅表示出旋转圆盘下的温场和浓度场，而且也将无量纲轴向速度分量的相对值表示出来了（由图3-18知H（∞）＝0.89）。可以定性地看出，当普兰托数很小时，温度边界层的厚度δT大于速度边界层的厚度δv，而当普兰托数很大时则相反。这可定性地表示于图3-22中。同样，斯密特数对δC和δv的影响也完全相似。

从图3-20或式（3-85）～（3-88）还可以看出，P和S对温度分布以及浓度分布的影响。P和S越大，边界层厚度越小，界面附近的温度梯度与浓度梯度越大，因而界面形状的局域改变对温度分布或浓度分布的影响越小。例如对非金属流体，其P较大，因而其温度分布对于界面形状的局域变化较不敏感。