一、旋转圆盘下流体的速度场

旋转圆盘下的传输问题，是一个典型的强迫对流下的混合传输问题。由于强迫对流的流体动力学方程（3-1）式中不包含未知函数T（r）和C（r），因而不需和热传输方程（1-25）式、质量传输方程（2-7）式联立求解。可以先由（3-1）、（3-3）式结合边值条件求得速度场，再将求得的速度场代入传输方程（1-25）、（2-7），求得温场和浓度场。故我们先求解旋转圆盘下的速度场（velocity field of flow under rotating desk）。

旋转圆盘下的流动问题，曾先后由冯卡曼（Von Karman）[20]和科克伦（Cochran）[21]解决。从后者所得流体动力学方程的准确解，可以得知流体运动的图像。圆盘以等角速度绕垂直于该平面的轴旋转，由于黏滞力的作用，圆盘附近的流体被带着转动，其角速度越靠近圆盘越大，直至和圆盘本身的角速度相等。这些转动着的流体在离心力作用下被甩出去，下部的流体沿轴流近圆盘以填补空隙，这些流体又依次被甩出去。

旋转圆盘附近的液流问题，不仅对直拉法晶体生长是重要的，就是对流体动力学本身也有着特别意义。因为它是完全的流体动力学方程组能有准确解的少数例子之一。所谓准确解，指的是能从该解得出黏滞流体全部体积中的速度分布。

由于这个问题具有旋转对称性而不是圆柱对称性，故不能简化为二维问题。但采用柱坐标（r，φ，z）则较为方便，这是由于旋转对称性，导致所有对φ的导数全部消失。

在强迫对流的流体动力学方程（3-1）式中，由于重力可表示为势函数的梯度，因此可和（3-1）式中的压力梯度合并而引入约化压力（参阅第七节之一），于是（3-1）式简化为

我们考虑的是稳态速度场，故；假设压力只是由重力而产生的，即压力只是z的函数；同时由于具有旋转对称性，所有关于φ的导数全部为零。于是将上面的流体动力学方程的矢量形式写为柱坐标下的标量形式，并根据上述假设加以简化，于是有

而连续性方程（3-3）式的标量形式为

其中vr，vφ，vz为径向、切向、轴向速度分量。

在圆盘表面满足的边值条件是

当z=0，　vr=0，　vφ=rω，　vz=0

式中ω是圆盘旋转的角速度。切向速度分量的边值条件表明，在盘面上的流体和圆盘一起转动。盘的旋转带动了流体，使盘面邻近出现相当大的径向速度。为保证向盘面供应流体，在远离圆盘处，应该存在不变的垂直向上的液流。因此在无穷远处的边值条件为

z→∞，　vr=0，　vφ=0，　vz=-U0

U0值可从问题的解的本身求得。负号表示液流速度指向圆盘，其方向与z轴相反。

按冯卡曼的方法[20]，我们引入新参量ξ，定义，此为无量纲距离。我们用无量纲距离代替z，并引入无量纲函数

将无量纲参量ξ和无量纲函数F，G，H，P代入式（3-59），可将偏微分方程转换为常微分方程

同样，边值条件变换为

其中待定。

根据远离圆盘处及圆盘表面上的边值条件，可以写出函数F，G，H满足上述方程及其边值条件的展开式。在ξ很大时，该展开式（渐近展开式）的性质可以从H的边值条件中得到启示。因为当ξ→∞时，H→-α，而此时F，G很小，为一微量。所以在方程（3-61）中可以略去二阶微量，近似地写为

当ξ→∞　　-F′α≈F″

积分这一方程，我们得到F的渐近表达式

当ξ→∞　　F≈exp（-αξ）

同样，在ξ→∞时，方程（3-62）近似地表示为

当ξ→∞　　-G′α≈G″

由此得G的渐近表达式

当ξ→∞　　G≈exp（-αξ）

因此F，G，H的渐近展开式应按exp（-αξ）的乘幂展开。满足微分方程（3-61）～（3-64）及边值条件（3-65）、（3-66）的展开式的前几项是

同样可得ξ很小时满足微分方程组及其边值条件的展开式

常数A，B，a，b，α待定。即应这样选择常数，使F，G，H及其导数F′，G′连续。于是由方程组得知其余导数也是连续的。由数值积分得到下列常数

a=0.51，　b=-0.62，　α=0.89，　A=0.93，　B=1.21

压强分布自然亦可求出。

图3-18画出了F，G，H关于ξ的曲线。这些曲线是科克伦用数值积分精确计算的结果[21]。

取近似展开式（3-69）的一级近似，并根据，可得vz在z→∞时的近似表达式

取近似展开式（3-72）的一级近似，亦根据，得

近似表达式（3-73）、（3-74）在研究直拉法晶体生长的溶质分凝时很有用处，例如在第二章中关于旋转晶体下轴向流速的近似式（2-25）就是直接引用了式（3-74）。

上面关于vz的近似表达式（3-73）、（3-74）亦可直接从图3-18中得到。我们观察图中的H曲线，当ξ→∞，H趋于一渐近值，即H（∞）→-0.89，故当z→∞时，vz=-0.89νω。另一方面，当时，即ξ≪1时，H与ξ的关系近于抛物线，故可得（3-74）式。现将旋转圆盘下的速度场示意地表示于图3-19。

图3-18　旋转圆盘附近的速度分布[21]

图3-19　旋转圆盘附近速度场示意图[5]