二、泰勒-普劳德曼定理

旋转流动与非旋转流动的主要差异是，在旋转流体中出现了科里奥利力。为了阐明科里奥利力在旋转流体动力学中的作用，我们首先将式（3-51）变换为无量纲方程。

取d，Ω-1，v为特征长度、特征时间和特征速度，则诸无量纲参量为，。而取k为无量纲转速的单位矢量，则式（3-51）可变换为无量纲方程

式中R0为罗斯比数（Rossby number）

而E为埃克曼数（Ekman number）

罗斯比数是流体对流产生的惯性力与科里奥利力之比值，它表明了非线性项（对流项）的相对重要性。埃克曼数是流体动力学方程——式（3-52）中最高阶微分项的系数，是某些区域中是否存在速度边界层的形式判据。该边界层是局限于界面邻近的薄的切变层内。在边界层内，由于黏滞作用，使得流体的切向速度逐渐趋近于边界值。然而黏滞作用所产生的切变层也可以产生于液体内部，即产生于流体内部流速尖锐变化处，或速度分布的不连续处。黏滞作用集中于薄的切变层中，这意味着别处流体可看为非黏滞流体，即E=0。

若旋转流体中的对流比较微弱，即R0≈0，同时又远离切变层，即E≈0，于是（3-52）式退化为

上式表征着该流动中科里奥利力与压力梯度保持平衡。在地球物理学中或在物理气象学中将具有上述特征的流动称为地转流动（geostrophio flows），下面我们将看到在直拉法生长系统中也存在这种流动。

从式（3-55）中可以清楚地看到地转流动的一个重要的性质，这就是在该流动中，科里奥利力恒垂直于流速，因而压力梯度也垂直于流速，这意味着流线就是等压线。这是旋转流体流动与非旋转流体流动的重要区别，我们从非旋转流动的伯努利方程（Bernoulli's equation）可以知道，沿着流线，压力是变化的。

我们对（3-55）式两边取旋度，就可以看出地转流动的另一有趣的性质。由于势矢量▽*p*无旋度，故

▽*×（k×v*）=0

进行矢量运算并利用连续性方程，最后得

取转速Ω的无量纲单位矢量k与z轴一致，故得

或

这表明沿着旋转轴，流体的速度场是不变的。这就是熟知的泰勒-普劳德曼定理（Taylor-Proudman theorem）。

如果旋转系统中垂直于旋转轴存在刚性边界，如直拉法生长系统中的固液界面，在边界上有vz=0，则上述定理暗示，旋转流体中处处有

这表明，整个流动是在垂直于旋转轴平面内的二维流动。