一、相似流动——雷诺数和弗鲁得数[5]

两生长系统中速度场的相似，可用速度场中流线在几何上的相似来表征。两系统速度场的相似被称为动力学相似（dynamical similarity），这与两系统在几何上的相似不同。两系统在几何上不相似，例如一个坩埚是圆的，一个是方的，则两坩埚中的流动一定不具有动力学相似。如果两生长系统在几何上是相似的，例如坩埚、晶体的形状都是相似的，但是若两系统中的流体不同，晶体的转速不同，晶体、坩埚的线度不同，则两系统中的液流不一定具有动力学相似。因而系统在几何上的相似是流体动力学相似的必要条件。而两系统中的液流具有动力学相似的充要条件是，不仅要求两系统具有几何上相似的边界，而且要求在两不同系统中位于几何上相似位置的二流体体元，其所受之诸作用力，在任何时刻，必须具有相同的比值。

动力学相似的充要条件的具体表达式，决定于作用在流体体元上诸力的性质。我们首先考虑的是，作用于流体体元上只有惯性力和黏滞力的情况。在这种情况下，只有当作用于两系统中相应位置上的流体体元上的惯性力与黏滞力的比值相同，两系统才具有动力学相似，即两系统中的流动才是相似流动。

考虑在几何上相似的两直拉法生长系统，于晶体下面固液界面邻近考虑一流体体元，取x轴平行于某时刻该体元的运动方向，作用于单位体积流体上惯性力为。

在稳态速度场中有，故单位体积上的惯性力为。下面估计黏滞力，由图3-5可求得体元上的合切应力为

因而单位体积上的黏滞力为。由牛顿黏滞定律有，故单位体元上的黏滞力为。

根据相似性条件，要求作用于两系统中相应点的惯性力与黏滞力的比值为常数，故有

在直拉法生长系统中，流体的速度场与晶体边缘的线速度v、晶体直径d有关（这里暂不考虑引起自然对流的浮力，不考虑坩埚旋转）。速度场中任一点的速度正比于线速度v，速度梯度正比于v/d，同样，正比于v/d2，故有

因此，如果两系统中的量ρvd/μ相等，两系统中的液流就是相似流动。由于ν=μ/ρ，故量ρvd/μ亦可写为vd/ν，由于它是二力的比值故为无量纲数。这就是熟知的雷诺数（Reynolds number）。因而当两几何上相似的系统中的雷诺数

相等，两系统中的液流就是相似流动。这又称为雷诺相似性原理。

如果我们考虑惯性力和重力，而忽略黏滞力（在坩埚中熔体的自由表面附近就应考虑重力）。在这种情况下，只当作用于两系统中相应位置上的惯性力与重力的比值相同，两系统中的液流才是相似流动。单位体积的流体所受的重力为ρg，故相似流动的条件可表示为

量v2/（dg）是两力的比值，亦为无量纲数，称弗鲁得数（Froude number）。于是，对两几何上的相似系统，如果作用于流体上的力只是惯性力和重力，则两系统中的弗鲁得数

相等，两系统中的液流就是相似流动。这又称弗鲁得相似性原理。

我们现在从一个完全不同的角度来考虑相似流动。我们考虑两个几何上相似的系统，借助于流体动力学方程，即（3-1）式，导出相似流动所需满足的条件。

我们考虑的两个系统，虽然有相似的几何边界，但是坩埚中的流体不同，即具有不同的ρ和μ，晶体的转速不同，晶体、坩埚的尺寸也不同。因而用来描述这两个系统的微分方程（3-1）及其边值条件也不同。

微分方程（3-1）是动量守恒定律的微分形式，而任何物理规律的存在与所选取的单位无关，故式（3-1）中的物理量是可以选择不同的单位的。

如果我们能将描述一个系统的微分方程（3-1），通过选用别的单位将它变换为描述另一系统的微分方程，则此两系统中的流动就是相似流动。这是由于我们所选用的两种单位制中各物理量间的比例常数，正好等于前述的用来量度两相似流动的不同比例尺间的比例常数。

然而，现有的单位制间的关系不一定能满足任意的两相似流动间所需要的比例。因而可引入一些与流动本身有关的特征量，用它们去量度方程中出现的各种量，从而可以得到无量纲方程。于是两个无量纲方程具有相同解的条件，就是相似条件。

为此，我们引入特征长度d、特征速度v、动力头ρv2（具有压力的量纲）。在直拉法生长系统中可选取晶体直径为特征长度，晶体边缘的线速度为特征速度。于是各无量纲参量以及无量纲算子与普通参量和普通算子间的关系如下

这样可将动力学方程（3-1）、连续性方程（3-3）变为无量纲方程

或

由式（3-10）和（3-11）可知，如果两不同系统，其雷诺数和弗鲁得数相同，这两个系统都可用同一无量纲微分方程来描述。如果两系统的无量纲初始条件和边界条件也相同（只当两系统在几何上相似才有可能），则两系统在数学上就完全相同。这就是说，其无量纲速度分布v*（x*，y*，z*，t*）和无量纲压力分布p*（x*，y*，z*，t*）相同，则这两个系统就具有动力学相似，或者说，这两个系统中的流动是相似流动。