四、对流对溶质分凝的影响及有效分凝系数[5]

已经阐明，通常的晶体生长都是在重力场中进行的，故溶液中总是有自然对流的。为了使溶液中的溶质混合均匀，或是为了加速溶质传输，往往进行人为的搅拌，如旋转晶体、旋转坩埚等，因而经常有强迫对流。有对流存在时，流动着的流体不仅携带着热量，而且也携带着溶质，因此对流必然影响溶液中的溶质浓度场。

精确地求得运动流体中的溶质浓度场及其对溶质分凝的影响，是很困难的。这里我们采用了伯顿（Burton）等的近似[5]。

由式（2-18）或图2-7可以看出，扩散是溶质传输的唯一机制时，只当z→∞，CL（z）才趋于CL。而溶液中存有对流时，对流强烈地使溶质混合均匀，因而使CL（z）很快地趋近于CL，如图2-10所示。伯顿等引入了溶质边界层厚度δ的概念。他们假定在边界层之外的“大块”流体中，即当z＞δ时（参阅图2-10），由于对流的搅拌作用，溶质完全混合均匀。在边界层之内，即0≤z≤δ，宏观流动只是平行于界面的层流，因此扩散是溶质传输的唯一机制。而边界层厚度δ的大小决定于宏观对流，即决定于搅拌的程度。在上述假定下，我们可方便地求得存在对流的情况下，溶体中的溶质分布CL（z）。

图2-10　界面邻近的溶质分布，虚线确定了边界层厚度[5]

十分类似，根据式（2-8），可得一维的与时间有关的传输方程，再通过坐标变换，即从实验室坐标系变换到运动坐标系，即得一维稳态传输方程

而其边值条件为

满足上述边值条件的微分方程的解为

式（2-18）和式（2-22）同样表示了溶液中浓度CL（z）的分布。但前者代表了溶液中只有扩散传输的溶质分布，后者代表溶液中存在自然对流和搅拌（强迫对流）情况下的溶质分布。而流体的对流效应由式中δ表现出来，亦即不同的自然对流或搅拌情况下δ的大小不同。

从式（2-22）我们可立刻求出在固液界面处溶液中的溶质浓度

在通常的晶体生长条件下，在固液界面前沿形成了溶质边界层。因此在生长出的晶体中，其溶质浓度不再决定于熔体中的平均浓度CL，而是决定于固液界面上溶液内的浓度CL（0）。由式（2-23）可知，准静态生长过程中，生长速率无限缓慢，v＝0，则CL（0）＝CL，此即溶质边界层消失了。反之，晶体以有限速率生长时，CL（0）总异于CL，总是存有溶质边界层的。前面已经说过，平衡分凝系数k0＝CS/CL（0），而k0对确定的溶液系统是常数，因而求某一时刻生长晶体中的溶质浓度（CS＝k0CL（0）），必须先求出CL（0），即先求出该时刻溶质边界层内固液界面处的浓度，才能求出该时刻晶体中的溶质浓度；但是在实用上往往要求根据该时刻溶液中的平均浓度CL来求出长入晶体中的浓度，因此我们定义有效分凝系数（effective segregation coefficient），k有效＝CS/CL，这样我们只需求出某一时刻的k有效，就能根据当时溶液中的平均浓度求得当时长入晶体中的溶质浓度。根据式（2-23）和k0＝CS/CL（0）可求得

对确定的溶液系统，平衡分凝系数k0是常数，故有效分凝系数k有效与晶体生长速率v、溶质在溶液中的扩散系数D、边界层厚度δ有关，而δ又和溶液的自然对流和搅拌有关，这样某一时刻生长晶体中的溶质浓度CS可由当时溶液中的平均浓度CL和有效分凝系数k有效决定，即CS＝k有效·CL。通过k有效，CS又和工艺参量生长速率v、边界层厚度δ联系起来，故生长速率、溶液中的对流状态的任何改变都要影响到该时刻长入晶体中的溶质浓度。

由（2-24）式可知，当生长速率v→0，则k有效→k0，这是本节第二部分所讨论的情况，即准静态生长过程中的溶质分凝。当扩散边界层厚度δ→∞时，k有效→1，这就是本节第三部分所讨论的情况，即溶液中扩散是溶质传输的唯一机制，且是稳态溶质边界层建立后的溶质分凝。通常实践中，生长速率不是无限缓慢的，溶液中总是存有对流传输，因而k有效介于k0和1之间。由此可见，第二和第三部分讨论的是实际过程的两种极限情况。

为了应用上的方便，将k有效作为的函数画成曲线表示于图2-11和图2-12。通常生长工艺中，v是已知的，至于δ，在直拉法生长中如果不考虑自然对流，则决定于晶体转速ω和熔体的运动黏滞系数ν（下节我们将讨论）。于是，如果已知工艺参量v和ω，又知道溶液系统的物理参量：k0、D和ν，则可由图2-11或图2-12求出相应的k有效，于是该工艺条件下凝固晶体中的溶质浓度就可以知道了。

图2-11　对不同的平衡分凝系数k0，有效分凝系数k有效与参量间的关系（k0＜1）[2]

图2-12　对不同的平衡分凝系数k0，有效分凝系数k有效与参量间的关系（k0＞1）[2]