第五节　坩埚中液面位置及辐射屏对温场的影响

一、坩埚中液面位置对温场的影响

在晶体生长过程中，坩埚中液面位置不断下降，坩埚内壁不断地裸露出来，由于埚壁的温度很高，因而对晶体、熔体中的温场的影响是很大的。由于坩埚中液面是不断下降的，如果考虑埚壁对温场的影响，则温场就不是稳态温场。求解与时间有关的热传输方程，在数学上是比较困难的。因此我们对这个问题换一种提法，我们分别在埚壁不同裸露深度的条件下，求出晶体、熔体中的温场，再进行比较，这样我们就能了解埚壁裸露深度对温场的影响。在给定的裸露深度下，在不太长的时间间隔内，晶体、熔体中的温场仍然可以看为稳态温场。这样我们就回避了求解与时间有关的热传输方程的困难。

有住彻弥和小林信之[10]按这样的思路用计算机对锗晶体生长过程中的温场进行了数值计算。现在我们来讨论他们所获得的结果。

在这里所研究的系统是晶体-熔体系统，晶体和熔体的物理性质不同，故此系统是非均匀系统，而固液界面为其间断面。假设晶体是各向同性的均匀介质，其比热容cS、热传导系数kS、密度ρS皆为常数，同样假设熔体亦为各向同性的均匀体，其cL，kL，ρL亦为常数。并且不考虑对流对热传输的贡献。

所考虑的数学模型如图1-10所示。晶体是半径为ra、长为l的圆柱体，坩埚半径为RC，埚壁裸露深度为hC。由于模型是圆柱对称的，故采用圆柱坐标，坐标原点固定在固液界面上。

如前所述，在不太长的时间间隔内，可当作稳态温场处理，故；由于温场是圆柱对称的，故T与φ无关；由于不考虑熔体中的对流，故晶体、熔体中的温场所满足的微分方程都是式（1-39）。

下面给出边值条件。在熔体-坩埚界面上有

在固液界面上有

顶面上的边值条件和上节中式（1-37）相同，故有

晶体柱面和熔体自由表面因气体对流而产生的单位面积的热损耗（热流密度）仍为T0）1.25。但是由于坩埚裸露，因而改变了晶体柱面和熔体自由表面的辐射损耗（见图1-10）。因而晶体柱面辐射损耗的热流密度应该是柱面对气氛辐射损耗的净热流密度、柱面对埚壁裸露部分辐射损耗的净热流密度以及柱面对熔体辐射损耗的净热流密度之和，即

式中下标S，0，C，L分别表示晶体、气氛、坩埚、熔体。BS，BL，BC分别表示晶体、熔体、坩埚的辐射系数（决定于表面性质）。f是决定于相互辐射系统的几何因素的常数。同样，熔体自由表面的辐射热损耗的热流密度为

于是晶体柱面上的边值条件为

在熔体自由表面上的边值条件为

由于圆柱对称性，故沿z轴有

在原则上可求出满足边值条件（1-48）～（1-55）式的热传导方程（1-39）式的解。然而满足非线性边值条件的解析解是难以获得的。因而有住彻弥和小林信之[10]用计算机进行了数值计算，获得了温度和温度梯度沿轴向的分布。

为了方便地说明埚壁裸露深度对温场的影响，我们先引入表面发射效率η这个物理量，η的定义为

即单位面积表面在单位时间内耗散于真实环境中的净热量与耗散于温度为0K的绝对黑体环境中的热量之比。显然η与环境温度、环境物性（气体、液面、埚壁裸露部分的物性）、环境的几何因素（如坩埚、熔体液面的几何形状、尺寸及其所张的立体角）有关。

数值计算表明，晶体柱面上的发射效率、熔体液面上的发射效率强烈地依赖于hC，对锗晶体的计算结果，如图1-11和图1-12所示。晶体柱面上的发射效率ηS随着埚壁裸露深度hC的增加而迅速降低。如hC为3cm，见图1-11中的曲线3，则在离开固液界面2cm内，晶体柱面上的发射效率为零，这就是说，由于埚壁裸露部分对晶体的辐射，晶体的这一段根本无法通过辐射将热量由晶体表面（柱面）耗散出去。如果埚壁裸露深度hC为4cm，离开固液界面2.5cm以内，晶体柱面上的发射效率为负值，见图1-11中的曲线4，这就是说，晶体耗散于环境中的热量小于埚壁和液面辐射到晶体的热量。这样就十分强烈地改变了晶体中的温场。随着hC的增加，也强烈地降低了熔体自由表面的发射效率，如图1-12，同样也改变了熔体中的温场。

图1-11　晶体柱面的发射效率[10]

图1-12　熔体液面的发射效率[10]

图1-13是晶体中的温度沿轴向的分布。图1-14是晶体中温度梯度的轴向分布。可以看出当hC增加时，晶体中轴向温度梯度减小，而且均匀地减小，hC每增加1cm，轴向温度梯度减少12℃/cm左右。

图1-13　沿晶体轴向的温度分布[10]

图1-14　沿晶体轴向的温度梯度[10]

由图1-14可以看到，由于埚壁的裸露效应，在晶体中距固液界面数厘米的范围内，轴向温度梯度几乎不变。这正好为斯科特[1]对ZnWO4晶体中的温度测量所证实，如图1-9所示。在锗中的测量结果表明，距固液界面至少8mm内的晶体中温度梯度是恒定的[11]，在硅中距固液界面12～15mm的范围内，实验测得的轴向温度梯度也是不变的[12]。