2.2 微动的接触力学理论

两弹性体之间的接触问题，最早是从Hertz的工作开始的。Hertz在研究两个玻璃透镜之间间隙的Newton光学干涉条纹时，注意到由于透镜间的接触压力对透镜表面弹性变形可能造成的影响，进而推测出弹性体接触时的应力分布。他于1882年发表了第一篇有关接触力学的论文，奠定了接触力学的基础。Hertz对弹性体接触应力场的描述是经过若干简化的：

（1）两固体在接触点附近的表面至少二阶连续，即两接触表面可以用微分几何来描述。

（2）接触是非协调的。所谓“非协调接触”，是指具有不相似外形（两物体轮廓不贴合）的物体称为非协调的，当它们无变形地接触时，首先在一个点或一条线相碰，即所谓的“点接触”及“线接触”，如球面之间的接触或圆柱面之间的接触。

（3）接触固体为各向同性的弹性体，变形为小变形，即保证接触行为是线弹性的。

（4）接触面间摩擦系数为零，即接触面切线方向无摩擦力作用。

显然，接触固体间的摩擦系数不可能为零，且大多数情况下两固体间会受到切向力的作用。Cattaneo于1938年首次提出了考虑摩擦并受到切向力作用的局部滑移问题，并给出了解答。1949年，Mindlin独立地提出了该问题并给出了令人满意的解析解。他们的工作拓展了接触力学的应用范围，使接触力学的研究上升到一个新的高度，也为微动摩擦学的研究提供了理论基础。进一步的，Nowell和Hills考虑了远端力对接触应力场分布的影响，对Mindlin的解进行了改进，得到了更普适的圆柱面与无限大半平面的接触问题的解析解。他们的研究是目前流行的微动疲劳试验的理论依据。至此，非协调表面的接触问题得到了较完美的解决。然而协调接触问题还没有得到很好的解决。Clavarella等对有圆角的面-面接触问题进行了研究，得到了其接触应力场的近似解。Hills等也在协调接触应力场分析方面进行了大量的工作，讨论了面-面接触、接触面受力矩作用等更一般情况下的接触行为和应力场分布问题，并提出了一套分析接触区边缘应力集中区域应力场分布的近似方法。

2.2.1 弹性接触的Hertz理论

由于微动疲劳是连接件之间的接触引起的，因此接触力学的研究对明确微动区域的接触行为是非常必要的。由于本书的篇幅和主题所限，本章只介绍工程实际中常见的两圆柱体接触和两平面接触的情况，其他情况以及具体推导过程请读者参阅接触力学的相关著作。

两弹性体之间的接触问题可用图2.1加以描述。两弹性体在线载荷P （单位：N/m）的作用下发生接触，接触半宽为a，此时，该问题为静止接触问题。当接触体受到切向牵引力Q和/或远端载荷σB的作用时，即变为初始滑动问题。

为了研究两物体间的接触问题，我们首先要定义能描述两接触物体几何形状的函数。如图2.2所示，规定在无变形的情况下，两物体相接触的点为坐标原点O，上、下两物体分别以下标1和2表示。选Oz轴为两表面在O点处的公法线方向，因此得到xOy平面为两表面的切平面。如果接触的两个面为轴线平行的圆柱面，则可规定y轴方向平行于圆柱面的轴线方向。在此坐标系中，两表面的未变形形状由以下函数确定：

因而，在加载之前它们间的间隔由下式给出：

Hertz接触理论的基本假设之一为两接触表面在接触点附近至少二阶连续，于是可以用如下形式的表达式来近似地表示原点附近的曲面：

式中，A1, B1, C1, A2, B2, C2为常数。

在如图2.2所示的坐标系下，两曲面间的间隙由式（2.2）和式（2.3）可知

式中，A和B为正的常数，R′和R″为相对主曲率半径。

当两个圆柱由单位长度上的力P压紧而接触时，问题就变成二维问题。两圆柱间加载前表面对应点之间的间隙变成

式中，R1, R2为两接触面的曲率半径，定义等效曲率半径R*为

如图2.3所示，取两表面上的对应点S1和S2，如果变形后两点在接触面内重合，则

利用式（2.5）可以得到两圆柱接触时弹性位移表达式

若S1和S2位于接触区外时，两点不发生接触，则有

通过式（2.9）可以得到表面梯度的关系。于是

根据线载荷p(x)引起的表面梯度公式，可得

代入方程（2.10）得

式中，E*为两弹性体的等效弹性模量。

式中，E1, E2为两弹性体的弹性模量；ν1, ν2为两弹性体的泊松比。

通过求解该方程，可得到两圆柱面相接触时接触区半宽a的表达式

于是可得接触区的接触应力分布为

式中，p0为接触区的最大压力。

式中，pm为接触区的平均压力。

当接触问题变为圆柱面与弹性半空间（平面）相接触时，R*即圆柱半径。其他参数不变，可以应用以上公式对这一问题进行求解。

2.2.2 非协调接触的初始滑动问题

如图2.4所示，圆柱体受到线载荷P的作用，随后施加切向力Q（Q<μP）。由P引起的接触宽度和压力可由Hertz理论求出（假设接触行为不受切向牵引力Q的影响）。假设接触区不发生滑动，即在整个接触窄带-a≤ x≤ a上为满足无滑动条件的“黏着”区，则接触的两弹性体的位移关系为

利用平面应变问题中弹性半空间的切向加载荷法向加载之间的相似性，可以得出切向力的分布为

由式（2.18）确定的切向力分布如图2.4中曲线A所示。可见，在接触区边缘，切向力趋于无穷大，要保持接触区不滑动，就需要有无穷大的摩擦系数。显然，真实情况是无法满足该条件的。因此，在接触区的边缘必然存在局部的滑动，接触区中心区域为“黏着”状态。

如果切向牵引力Q增大到其极限μP，使物体处于滑动的瞬间，则切向力的分布为

从由Hertz法向压力分布所产生的法向位移类推，可知在接触区表面的位移是按抛物线分布的。如果在中间点x=0处不产生滑动，则有

对于另一个接触表面，有一个符号相反的类似表达式。这些切向位移的分布只在原点处成立，在接触区的其他位置，如应用以上假设，则必然存在滑动。

如存在一个附加切向力q″，其分布为

该力作用于窄带-c≤ x≤ c（c<a）上，利用式（2.21）类似的方程得到由这个力所产生的切向位移为

如果将q′与q″叠加起来，则在中心窄带-c≤x≤c内合成的位移是常数，如图2.3所示。

并且在另一个接触面上的对应点有

将ux1和ux2代入式（2.18）表明，在窄带-c≤x≤c内满足无滑动条件，且这个区域的切向力合力可以由下式确定：

该值处处小于μP，因此在接触中心区域为“黏着”状态。在接触区的边缘c≤| |x ≤a处，q(x)=μp(x)，为滑动区。黏着区的尺寸由如下切向力的值来确定：

因此有

按照如上分析可知，如果保持法向载荷P为常数，切向牵引力Q从零开始持续增加，微小滑动立即会在接触区的两个边缘处产生，并且根据式（2.27）向中心扩展接触表面的切向力分布如图2.4中曲线B所示。当Q接近于μP时，c接近于零，黏着区在a=0处收缩为一条线。此时如果继续增加Q，则接触的两物体将发生刚体位移（全局滑动）。

2.2.3 考虑远端载荷时的初始滑动问题

进行微动疲劳试验时，试件除受到微动垫的法向载荷外，还受到远端交变载荷σB的作用。此时接触面上的应力分布将由于远端载荷的作用而发生变化。Nowell和Hills对该情况进行了分析，给出了此时接触面上应力分布的解析解。

Nowell和Hills认为，当σB较小（σB a/Q→0）时，接触区的法向接触压力的分布满足Hertz给出的表达式，切应力分布与Mindlin给出的结果相似。但是由于远端载荷的影响，接触区的中心会偏移一个小量e，即此时接触中心的坐标为x=e。此时的接触应力场分布为

因为在黏着区无滑动，因此两弹性体接触区表面的应变应该相等，即

对于弹性接触体1（不受远端载荷作用），接触表面的应变为

对于弹性接触体2（受远端载荷作用），接触表面的应变需要将远端载荷的作用考虑在内，即

将式（2.34）和式（2.33）两式相减得

调用式（2.33）并将q(x)的表达式代入得

要使该等式成立，必须满足

以及

因此，最终的结果为

根据上述分析结果，典型的切应力场分布如图2.5所示。根据几何约束条件可知e + c≤a，因此式（2.4）成立的条件为

2.2.4 协调接触的问题

经过Hertz、Mindlin、Nowell以及Hills等的研究工作，非协调接触问题已经得到很好的解决。然而，对于面-面接触即所谓的协调接触问题，求解难度较大。首先，两接触表面之间无初始间隙，这样就不能简单地通过二次多项式来描述；另外，协调接触表面常常不符合Hertz理论的应用条件，在载荷的作用下，接触区的尺寸迅速扩大，可能变得与接触体本身的有效尺寸相当，因此接触体不能再等效为弹性半空间。

对于实际工程中零部件间的平面接触问题，由于接触区边缘大多存在加工圆角，因此可将问题描述为如图2.6所示的带圆角的平面接触问题。圆角半径为R的平底物体在法向载荷P和切向载荷Q的作用下与弹性半空间发生接触并发生变形。未接触前，接触区半宽为a；发生接触后，由于弹性变形，使接触区变宽，接触半宽变为b，接触区中心的黏着区半宽为c。

Ciavarella和Hills等针对该接触问题进行了深入研究，给出了该接触问题应力场分布的近似解。鉴于篇幅和内容所限，本书仅给出相关的结论，具体的求解和推导过程，读者可查阅相关文献。

在接触区-b<x<b内，令

则接触区的接触压力分布为

ϕ0可由下式确定：

将接触压力做归一化处理，不同情况下的接触压力分布如图2.7所示。可见，面-面接触区的接触压力分布并不为均匀分布，距接触区边缘越近应力梯度越大。理论上讲，当a/b=1，即无圆角的理想协调接触状态下，接触区边缘的接触压力趋于无穷大。反之，当a/b=0时该问题退化为Hertz接触问题。

接触表面切应力的分布为

其中，R*由下式确定：

式中，R为接触面边缘的圆角。

黏着区半宽c可由下式确定：

将切应力做归一化处理，不同情况下，接触表面的切应力分布如图2.8所示。可见，接触区切应力分布的计算值与实际分布存在一定的误差，但总体趋势一致，结果较为合理。