第1章 埃弗龙的古怪骰子

有些骰子带来的胜负结局会很奇怪，与直觉完全不同，令人“误入歧途”。即便是同一个骰子，如果不是掷一次而是两次，那么胜负的结果可能就反过来了！

假如1比2好、2比3好……直到比好，那么1当然要比好啊！但是，这不一定。在某些情况下，传递性不存在：1会输给。

马丁·加德纳喜欢那些令人困惑又颠覆常识的小游戏。正是他广泛宣传了埃弗龙的非传递性骰子，后续精彩的派生游戏让最初的悖论扑朔迷离。在1970年《科学美国人》的每月专栏上，加德纳介绍了美国斯坦福大学的统计学家布拉德利·埃弗龙刚刚发明的四枚骰子：

我们将这些骰子写成A =[0, 0, 4, 4, 4, 4]，B =[3, 3, 3, 3, 3, 3]，C =[2, 2, 2, 2, 6, 6]，D =[1, 1, 1, 5, 5, 5]。我们假设这些骰子没做过手脚，每个面朝上的概率都是1/6。同时掷下骰子A和骰子B，点数大的算赢的话，一共有6×6=36种概率相同的可能性，其中有12种是“A掷到0而B掷到3”，而有24种“A掷到4而B掷到3”。于是骰子A赢了的情况有24种，而骰子B赢的情况只有12种。骰子A在三分之二的情况下都能胜利，自然更好。

比较骰子B和骰子C的话，会发现B也能在三分之二的情况下战胜C；同样，C在三分之二的情况下能战胜D。惊人的是，D也能在三分之二的情况下战胜A。

我们把这叫作“长度为4的非传递性链条”，并且如右图那样表达这些结果。

这很令人惊讶，但这个表面上的矛盾有一个简单的解释：我们错误地相信了“骰子X比骰子Y厉害”这个关系是有传递性的。一枚骰子有多厉害，不能用单一的参数来衡量，不像跑步运动员那样可以用速度来比较，也不像汽车那样可以用售价来比较。一枚骰子有多厉害，取决于每一次对决，依赖于另一枚骰子创造的环境。

骰子掷出的平均结果，也就是所有面的数字总和除以6，本来可成为衡量骰子的唯一参数，然而它不是。实际上，对于之前的骰子A、B、C、D，平均值分别是2.66、3、3.33和3。尽管骰子A的平均值比骰子B要小，却能在三分之二的情况下打败骰子B！同样，骰子B的平均值比骰子C要小，但在两者的对决中占了上风（在这里，大于号表示前者能赢后者）：

在这里，不论是骰子的平均值还是别的整体参数，都无法完整地衡量骰子有多强。