PREFACE
自序

本书所探讨的内容是整数，所以书中少有提到分数及无理数。人们通常把讨论如何从一个不定方程的无穷多个解中选出哪些是整数，或至少是有理数（通常是正有理数）解的学问，叫作不定分析或丢番图分析。本书不是要彻底研究这一学科，而仅是针对这个学科的一个十分特殊的部分；较之于整个学科，大致类似简化方程和解方程的学问——代数学——与整个分析学的关系一样。如同我们把所有关于数量的讨论都放在分析学的大标题下一样，我们把整数（以及分数——在它们由整数所确定的意义下）作为算术学的恰当的研究对象。然而，人们口中常说的算术学，不外乎是计数与计算的学问（用恰当的符号表示数，例如十进制表示法及其运算）。算术学还经常涉及到这样一些与算术毫无关系的问题（如对数理论），或者关于所有数量的问题。因此，将前面的内容称为“初等算术”是恰当的，以便与“高等算术”区别开来。高等算术的研究范围包括了对整数性质的一般研究。本书将只讨论高等算术。

欧几里得在他的《几何原本》的第七卷以及其后几卷中以古代学者惯用的方法优美而严谨地讨论的一些问题，属于高等算术的范畴，但其讨论的内容都是本学科的基础内容。丢番图的知名著作致力于研究不定分析问题，他取得了丰富的成果；考虑到这些问题的难度，加上丢番图处理这些问题时使用的巧妙方法，尤其是当时作者手头几乎没有多少数学工具可以使用，人们因而对作者的独特思维和熟练手法极其关注。解决这些问题主要是靠灵活的技巧，而不需要掌握深刻的数学原理。由于这些问题非常特殊而不能产生普适的结论，所以，如果说丢番图的著作开创了新时代，这是因为此书最早呈现了代数学所特有的技巧，而不是因为它以新的发现丰富了高等算术。为高等算术做出更多贡献的是现代的学者们，其中皮耶德费玛，莱昂哈德欧拉，约瑟夫拉格朗日以及阿德里安马里勒让德（以及另外少数几位）开启了这座科学神殿的大门，并揭示了其中的宝藏是何等丰富。我在此就不一一罗列他们的成果，因为这些成就在勒让德为欧拉《代数学》所作序中已经列出，在拉格朗日最近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本书合适的位置，我也会引用其中的很多成果。

本书的目的是介绍我在高等算术领域的研究。由于我五年前就承诺要出版此书，因而书中既有当时就开始的研究，也有后来的研究。为了不让人诧异为什么本书几乎从高等算术的最初步知识开始探讨，还要重新拾起许多已被其他人积极研究过的成果，我必须解释，当我1795年初开始转而进行这个领域的研究时，我并不知道现代学者在此领域中的发现，也没有找到这些发现的方法。当时的情况是这样的：在忙于其他研究时，我遇到了一个极不寻常的算术定理（如果我没记错的话，这就是本书第108条所说的那个定理），因为我觉得这条定理如此优美，还因为我怀疑它与更加深刻的结果有关，所以我全身心投入其中，以求能够理解它背后的原理并取得严格的证明。当我成功解决了这个问题后，我被这一类问题深深吸引，爱不释手。于是，随着一个结论引出另一个结论，我在拜读到其他学者的著作之前，就已经完成了本书前四章所介绍的绝大部分内容。最后，当我有可能拜读这些天才人物的著作后，我才认识到我所深入思考的大部分内容都是早已知道的东西。但是，这只是更为增加了我的兴趣，并让我努力尝试沿着他们的足迹进一步发展算术研究，第5、第6和第7章收录了这部分研究结果。过了一段时间，我开始考虑发表我的研究成果，并说服自己保留早期研究的成果，这是因为，当时还没有一本书把其他学者的工作收集在一起，它们分散在一些研究院的学术论文中；其次，很多研究的结论是全新的，且其中大多数结论还是用新方法讨论的；最后，后期的结论与以前的结论之间有着千丝万缕的关联，如果不一开始重提前面的结论，后面的新结论就无法解释清楚。

恰在此时，一部杰出的著作——《数论》问世，其作者是勒让德。彼时，勒让德已经在高等算术领域做出了非常大的贡献。在书中，他不仅把当时所发现的所有结果都收集在一起并加以系统整理，而且添加了许多他本人的新成果。因为当我注意到这本书时，我的作品的大部分已经交到了出版商的手中，所以我无法在我书中的类似章节参考这本书。但是我感到必须对一些篇章做些补充注释，我相信这位声名赫赫的先生能够理解，不会感到被冒犯。

四年来，本书的出版遇到了许多困难。在这一段时间里，我不仅继续过去已经开始进行的研究（当时为了避免本书篇幅过大，我决定分离出这些研究，准备在另外的地方发表），而且也从事许多新的研究。此外，许多我过去只是稍有触及而当时觉得似乎不必详细讨论的问题（例如，第37条，第82条以及其他若干条），也得到了进一步发展，并产生了一些看来是值得发表的更一般的结论。最后，主要由于第5章的内容，本书的篇幅变得大大超出我原来的预期，使我只得削减了最初打算写的不少内容，特别是删去了整个第8章（本书有几处提到了第8章，它讨论了任意次代数同余方程的一般处理）。一旦有可能，我会发表这些内容，它们的篇幅可以轻易地构成与本书篇幅相同的一本书。

在讨论几处难题时，我采用了综合性证明并省去了结果推导过程。这是为了尽可能地简洁。

第7章讨论的是分圆理论或分正多边形理论，虽然与算术无关，但其中的原理完全基于高等算术。几何学者们也许会因为这个事实感到惊讶，但（我希望）他们会乐于看到由这种处理方法衍生出的新结论。

以上就是我要请读者注意的一些事情。本书的优劣我不好加以评判。我衷心希望本书能够取悦那些关心科学发展的人士，不论是为他们提供一直寻找的问题的解法，还是为他们开启通向新发现的途径。

卡尔·弗里德里希·高斯