2.7 Paris裂纹扩展定律与寿命积分
传统的强度理论认为材料是均匀的、连续的，即认为材料没有初始裂纹，然而许多情况并非如此。某些过去观察不到的裂纹，可能在另外更先进的观察手段下被观察到，因此这里涉及裂纹尺度定义的相对性。然而材料中一旦被定义有初始裂纹或者有可以看作裂纹的初始缺陷，传统的强度理论就不再适用。
下面介绍的一些内容在许多关于断裂力学的文献中很容易找到，即便如此，这里再次重复介绍是必要的，因为它直接关系到本书中基于结构应力的主S-N曲线公式的理论推导。
首先，断裂力学的一个基本假设是承认研究对象中已经有了裂纹，或者是有了可以定义为裂纹的某种缺陷。断裂力学的基本目的是应用力学的方法来分析已经存在裂纹的扩展规律，由于裂纹尖端的应力是奇异的，但是裂纹尖端附近应力场的能量则是可被平均处理的，于是就提出了与度量这个能量相关的一个新的力学量：应力强度因子。基于应力强度因子，应力场的强弱程度就可以量化处理。
其次，断裂力学是应用了弹塑性理论和新的试验技术来研究裂纹尖端附近的应力、应变场和裂纹的扩展规律。对于裂纹扩展前裂纹尖端无塑性区，或塑性区尺寸远远小于裂纹长度的问题，可以用线弹性断裂力学的理论与方法来研究，而这些理论与方法正是本书第6章的力学理论基础之一。
图2-5 张开型裂纹示意
按裂纹的受力方向和断裂特征分类，断裂力学将裂纹分成三种类型：①张开型（简称为Ⅰ型），即拉应力垂直于裂纹扩展面，裂纹上、下表面沿作用力的方向张开，裂纹沿着裂纹面向前扩展，这是最常见的一种裂纹扩展方式。②滑开型（简称为Ⅱ型），即裂纹扩展受切应力控制，切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑移扩展。③撕开型裂纹（简称为Ⅲ型），即在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下，裂纹沿裂纹面撕开扩展。对大多数的焊接接头的裂纹来说，应属于图2-5所示的张开型裂纹，或称为Ⅰ型裂纹，图中t为板厚度，a为裂纹深度，2c为裂纹长度，σm′、σb′分别为沿着板厚度分布的膜应力与弯曲应力。
基于前人的研究成果，Paris定义了疲劳裂纹扩展速率的概念，并认为裂纹扩展速率与应力强度因子存在以下关系：
da/dN=c（ΔK）m （2-4）
式中 c、m——材料常数，对于同一材料，m不随构件形状和载荷的性质而改变，常数c则与材料的力学性质和试验条件有关；
ΔK——一次应力循环过程中由最大值至最小值所计算的应力强度因子之差，称为应力强度因子变化范围[7]。
尽管有的研究成果对上述公式进行过修正，但是Paris的上述疲劳裂纹扩展理论与试验结果是有一致性的，因此在工程中被广泛使用。图2-6给出
图2-6 对数坐标系下理想的裂纹扩展关系
了在对数坐标系下，裂纹扩展速率与循环次数的关系以及裂纹扩展的三个阶段，其中ΔK的对数为横坐标，裂纹扩展速率的对数为纵坐标。
从图中可以看出：在第Ⅰ阶段，在材料的裂纹尖端存在应力或应变场的“门槛”值ΔKth，当应力强度因子超过这个“门槛”值后裂纹逐渐形成，因此这个阶段被称为裂纹萌生阶段，这个阶段中应力集中是控制参数。在第Ⅱ阶段，裂纹逐渐向前扩展，这个阶段被称为裂纹扩展阶段，是由应力强度因子的ΔK控制。在第Ⅲ阶段，当裂纹扩展到某个临界值之后，裂纹扩展的速度迅速增加且材料很快断裂，与这个临界值对应的应力强度因子称为断裂韧度，这时的裂纹长度称为临界裂纹长度，这个阶段由断裂韧度控制，但是这个阶段的寿命很短，因此在进行疲劳寿命评估时，第Ⅲ阶段的贡献通常可以不考虑。
这样在循环载荷作用下，根据Paris公式，以裂纹深度为变量对扩展速率进行积分运算，就可以在已知初始裂纹长度的情况下，计算裂纹扩展到临界裂纹长度所需要的循环次数：
式中 Np——裂纹尺寸从ai扩展到ac的总循环次数；
c、m——材料常数；
ΔK——应力强度因子变化范围。
该公式可以导出像S-N曲线方程那样的表达形式，且有一些简单情况下的积分结果，这表明度量焊接结构抗疲劳能力的S-N曲线方程，是可以通过断裂力学的裂纹扩展速率公式推演出来的。
多年来，试图将断裂力学的理论用于焊接结构的疲劳强度评估的努力一直没有停止过，像BS 7608：2014+A1：2015标准《钢结构抗疲劳设计与评估》那样，对如何使用断裂力学进行疲劳评估也提供了指导[3]。然而，它又特别提醒在使用断裂力学原理解决工程问题时需要格外小心，例如在裂纹扩展方程中常量的取值，初始缺陷的尺寸和疲劳裂纹的形状，甚至对于焊趾上的裂纹，它是半椭圆形的还是直线形的，都需要事先做出假设，而这些假设在设计阶段通常是难以建立的。退一步说，即使这些假设可以被建立，它也完全有可能因人而异，这样计算结果的唯一性就很难从理论上得到保证。
将断裂力学理论用于焊接结构疲劳强度评估的努力方向本身并没有错，问题是正确的方向需要靠正确的理论来引导，而不是靠BS 7608：2014+A1：2015标准所提及的那些假设。