3．和差问题
☆题释 和差问题在小学数学“数的基本概念和基本理论知识模块”中占有一定的地位。从小学三年级起，数学教材就涉及简单的和差问题，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备。和差问题这一考点的题目在试卷中所占的比重相对稳定，题型以填空题和选择题为主，属一般难度题。
☆含义 已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的应用题叫作和差问题。解答和差问题可以用线段图来帮助我们分析题意。
☆基本特点 解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同表达方式。有些题目明确给了两个数的差，而有些题目把两个数的差“暗藏”起来，我们把“暗藏”的差叫作“暗差”。
☆数量关系
1．（两数之和+两数之差）÷2=较大数
较大数-两数之差=较小数 或 两数之和-较大数=较小数
2．（两数之和-两数之差）÷2=较小数
较小数+两数之差=较大数 或 两数之和-较小数=较大数
☆解题思路和方法
解答和差问题的步骤一般为：
1．读懂题意，判断它是否属于和差问题；
2．找出大、小两数的和以及它们的差；
3．利用和差问题公式求解。
例题解析
例1 两筐水果共重150kg，第一筐比第二筐少10kg，两筐水果各多少千克？
［解析］ 本题属于典型的和差问题，150kg是两筐重量之和，10kg是两筐重量之差。
我们可以借助如图1-3-1所示的线段图来分析题意。
图1-3-1
方法一：把第二筐多的10kg减掉，看成两个第一筐的重量来计算，列式为（150-10）÷2，可算出第一筐的重量，根据第一筐的重量再算出第二筐的重量。
方法二：把第一筐少的10kg补上，看成两个第二筐的重量来计算，列式为（150+10）÷2，可算出第二筐的重量，根据第二筐的重量再算出第一筐的重量。
解答
答：第一筐水果重70kg，第二筐水果重80kg。
例2 今年小强7岁，爸爸35岁。当父子两人的年龄和是58岁时，两人各多少岁？
［解析］ 解答本题的关键点是找出两数的差及两数的和。
图1-3-2
如图1-3-2所示，虽然题中没有给出小强和爸爸的年龄差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）。不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的。所以当两人年龄和为58岁时，他们年龄差仍是28岁。根据和差问题的解题思路就能解此题。
解答
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，爸爸43岁。
例3 洋洋期末考试时语文和数学的平均成绩是94分，数学成绩比语文成绩多8分，问语文和数学各得了多少分？
［解析］ 解答本题的关键点是找出两数的差及两数的和。
图1-3-3
如图1-3-3所示，数学与语文成绩之差是8分，说明两数之差是8。虽然数学和语文成绩之和没有直接告诉我们，可是条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩，即两数之和是94×2=188。再根据和差问题的计算公式分别算出语文和数学成绩。
解答
答：洋洋期末考试语文得了90分，数学得了98分。
例4 甲、乙两桶油共重30kg。如果把甲桶中的6kg油倒入乙桶，那么两桶油重量相等。问甲、乙两桶油各重多少千克？
［解析］ 解答和差问题的关键是找到两数的和及两数的差，本题中两数的和是已知的，关键是求出两数的差。
本题中甲、乙两桶油共重30kg，说明两数的和是30。两数的差没有直接告诉我们，但从条件“如果把甲桶中的6kg油倒入乙桶，那么两桶油重量相等”可知，甲桶中油的重量比乙桶重12kg，因此两数的差是12。再根据和差问题的计算公式分别算出甲、乙两桶油原来的重量。
解答
答：甲桶油重21kg，乙桶油重9kg。
例5 甲、乙两校共有学生864人。为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名学生，这样甲校学生还比乙校多48人。问甲、乙两校原来各有学生多少人？
［解析］ 解答和差问题的关键是找到两数的和及两数的差。本题中两数的和是已知的，关键是求出两数的差。
图1-3-4
如图1-3-4所示，甲、乙两校学生人数的和是864人。根据“从甲校调入乙校32人，这样甲校学生比乙校多48人”可知，甲校比乙校多32×2+48=112（人），即两校人数的差是112人。再根据和差问题的计算公式分别算出甲、乙两校各自原来的人数。
解答 甲校比乙校多的人数：32×2+48=112（人）
答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。
对应小练
1．妈妈给小花买了一条裙子和一双凉鞋，共用去65元。已知凉鞋的价钱比裙子便宜7元，问买凉鞋和裙子各用去多少元？
2．在一次期末考试中，小华的语文和数学成绩总共得了190分。如果他的语文多得6分，那么他的语文和数学的成绩就相等。小华的语文和数学各得了多少分？
3．甲、乙两个书架共有480本书。如果从甲书架中取出40本放入乙书架，这时两个书架上书的本数正好相等。甲、乙两个书架原来各有多少本书？（变式题）
4．甲、乙两校共有学生1050人。现有20名学生由甲校转入乙校，这样甲校比乙校还多10人。求甲、乙两校原来各有学生多少人？（变式题）
高分秘籍
【易错笔记】
1．读懂题意，已知两数的和与差（和或差也可能是间接告诉的），求这两个数各是多少的应用题才是和差问题。
2．（和+差）是较大数的2倍，而不是较小数的2倍；（和-差）是较小数的2倍，而不是较大数的2倍。
3．问题一般是求两个数各是多少，部分学生求出一个结果后就直接写答，忽略了求另一个数。
4．有些学生没有理解题意，仅根据题中已知条件的表面联系胡乱拼凑解答。所以要认真理解与分析题意，抓住所求的问题。
【口诀速记】
和加上差，越加越大；除以2，便是大的。和减去差，越减越小；除以2，便是小的。
专项精练
【能力练】
1．两个桶里共盛水30kg。如果把第一个桶里的6kg水倒到第二个桶里，两个桶里的水就一样多。原来两个桶各有水多少千克？
2．长方形操场（如图1-3-5所示）的长与宽相差80m，沿操场跑一周是400m。求这个操场的长与宽各是多少米？
图1-3-5
3．小华和小敏共有25支铅笔。如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支。小华和小敏原来各有多少支铅笔？
【提优练】
4．小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖。小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块。小熊比小猴少买几块糖？
5．贝贝、晶晶、欢欢去称体重。贝贝和晶晶一起称是50kg，晶晶和欢欢一起称是49kg，三个人一起称是76kg。三人的体重各是多少千克？