课题二 力矩和力偶

一、力矩

力对刚体的作用效应，除移动效应外，还有转动效应。

1.力对点的矩

力矩。力使物体绕点O的转动效应可用两者的乘积F·d来度量，乘积F·d并冠以正负号，称为力F对点O的矩，简称力矩，以符号M_O(F)表示，即

M_O(F)=±F·d

式中，点O称为矩心，力F作用线至矩心O的垂直距离d称为力臂。其正负号规定如下：力使物体绕矩心逆时针转动时，力矩取正号，反之为负。

可见，用扳手拧紧螺母时，其转动效应取决于力矩大小，即与力F和力臂d的大小有关。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）。

力矩在下列两种情况下为零。

（1）力等于零。

（2）力臂等于零，即力的作用线通过矩心。

2.合力矩定理

平面力系的合力对平面上任一点的矩，等于力系中各个分力对该点力矩的代数和。其数学表达式为

M_O(F)=M_O(F₁)+M_O(F₂)+…+M_O(F_n)=∑M_O(F_i)

例1.4 已知力F的作用点A的坐标为x、y，如图1.18所示。试求力F对坐标原点O的矩。

解 由于本题力臂没有明确给出，直接应用力矩定义计算就比较麻烦，而利用合力矩定理计算就很方便。将力F沿坐标轴分解为两个分力F_x、F_y，则

M_O(F)=MO(F_x)+MO(F_y)

=F_y·x–F_x·y

=F·x·sinα–F·y·cosα

二、力偶及力偶矩

1.力偶

由作用在一物体上的大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力组成的力系称为力偶。如图l.19所示，双手转动方向盘，用两手指旋转水龙头，钳工用丝锥攻螺纹等，都是施加力偶的例子。力偶用（F，F'）表示，力偶中两力所在的平面称为力偶作用面，两力作用线间的垂直距离d称为力偶臂。

2.力偶矩

力偶对物体的作用效果，不仅与力F的大小有关，而且还与力偶臂d有关，F与d的值越大，转动效果就越大。因此，力偶的作用效果大小可用两者乘积F·d来度量，乘积F·d称为力偶矩，用M(F,F')表示，或简写为M，如图1.20所示，即

M=±F·d

其正负号规定：物体逆时针转动为正，顺时针转动为负。

力偶矩的单位是牛顿·米(N·m)，与力矩单位相同。

力偶与力矩对物体转动效果相同。

3.力偶的性质

（1）力偶不能简化为一个合力，故力偶不能用一个力代替，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。

（2）力偶中的两个力对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，且与矩心无关。

（3）力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用效果。

（4）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变其对刚体的作用效果。图1.21所示为等效力偶。

4.力的平移定理

在图1.22（a）中，力F作用于刚体上A点，根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对大小相等、方向相反且与F等值、平行的力F′和F″，如图1.22（b）所示。作用于A点的力F与F″力构成了一力偶，即作用在A点的力F平移到O点后，应同时在O点加上一力偶，这个力偶称为附加力偶，如图1.22（c）所示。附加力偶矩的大小及转向与原力F对O点的力矩相同，即

M=M_O(F)=±F·d

力的平移定理：要使作用于刚体上某点的力，平移到刚体上另一点，而不改变原力的作用效果，则必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力F对新作用点O的矩。

5.平面力偶系的合成与平衡

在同一平面内由若干个力偶所组成的力系称为平面力偶系。平面力偶系可以合成为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即

M=M₁+M₂+…+M_n=∑M_i

平面力偶系平衡的充要条件是合力偶矩等于零，即

M=∑M_i=0

例1.5 梁的支撑及载荷情况如图1.24所示，已知作用在梁上的力偶矩为M，试对梁AB进行受力分析。

解 取梁为研究对象，对梁进行受力分析。

梁上受到已知力偶M和支座A、B的约束反力作用处于平衡，F_B为活动铰链约束反力，方向垂直于接触面，F_A为固定铰链约束反力，方向不定，但因为力偶只能用力偶来平衡，所以F_A应与F_B平行且反向，组成一对力偶，与已知力偶M相平衡，由此可确定F_A的方向如图1.24所示。