1.2 地面点位的确定

工程测量工作是在地球表面上进行的，点是地球表面形成地物地貌最基本的单元，合理地选择一些地面点（可称之为特征点），对其进行测量，就能把地物地貌准确地表现出来。因此，测量的实质是地面点位置的确定。

地面点位即地面上点的空间位置。确定地面点的空间位置，需要相应的基准面和基准线作为依据。由空间几何学可知，地面点位需要三个量来描述，因此需结合地球的形状和大小来具体研究。

1.2.1 地球形状和大小

测量学的主要研究对象是地球的自然表面，但地球表面极不规则，有高山、丘陵、平原、盆地、湖泊、河流和海洋。地球表面第一高峰珠穆朗玛峰高达8844.43m，最低的太平洋西部马里亚纳海沟深达11022m，两者相比，起伏变化很大，高低相差约2km，但与平均半径约为6371km的地球体相比，这样的高低起伏仍然可以忽略不计。此外，地球表面上海洋面积约占71%，而陆地面积约占29%，所以，地球总的形状可以认为是被海水包围的球体。可以设想有一个静止的海洋面向陆地无限延伸，从而形成一个封闭的曲面，这个封闭的曲面（静止的海洋面）称为水准面。与水准面相切的平面称为水平面。海水有潮汐涨落、时高时低，水准面就位于不同的高度，所以水准面有无数个。另外，由于受到潮汐波浪的影响，完全处于静止平衡状态的海水面是难以求得的。因此，人们在海岸边设立验潮站，用验潮站所测得的平均海洋面来代替静止的海洋面。这个唯一的平均海洋面称为大地水准面。它所包围的形体称为大地体，大地体代表了地球的形状和大小。当液体表面处于静止状态时，液面必然与铅垂线（重力的作用线）垂直，否则液体会流动。因此，水准面的特点是曲面上各点均与铅垂线垂直。大地水准面具有同样的特点。大地水准面和铅垂线是测量外业工作所依据的基准面和基准线。

由于地球的内部质量分布不均匀，引起各处铅垂线方向不规则的变化，所以大地水准面仍然是一个有微小起伏的不规则曲面。在这个不规则的曲面上无法进行测量计算。为了能在地球表面上进行各种测量计算，必须要寻找一个与大地水准面较吻合，而且能用数学公式表达的规则曲面来代替大地水准面。这个曲面可作为测量计算的基准面。经过长期研究发现，这个面是数学中的一个椭球面，如图1-1所示，椭球面绕它的短半轴旋转所形成的椭球，认为是地球的形状。它的大小可由长半轴、短半轴或扁率来决定。为了测量工作的需要，在一个国家或地区，需要选择一个接近于本地区大地水准面的椭球定位，这个球体称为参考椭球体。参考椭球面是测量计算的基准面。由地表任一点向参考椭球面所作的垂线称为法线。法线是测量计算的基准线。

我国1980年宣布，在陕西省泾阳县永乐镇新设立大地坐标原点，并采用1975年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体。通过椭球定位，建立了中国自己的大地坐标系，称为1980国家大地坐标系。该坐标系中椭球的常用几何参数为

①长半径=6378140m；

②短半径=6356755m；

③扁率=1∶298.257。

由于地球椭球体的扁率很小，当测量的区域不大时，可将地球看作半径为6371km的圆球。

1.2.2 确定地面点位的方法

一个地面点的空间位置需要三个坐标量来表示，所以，确定地面点的空间位置的实质就是确定地面点在空间坐标系中的三维坐标。

在常规测量工作中，地面点位的确定一般是通过求出地面点投影到参考椭球面（或水平面）上的投影点的平面位置（即平面坐标两个参数）和地面点沿铅垂方向到高度基准面的垂直距离即高程的方法来实现。

1.地面点在大地水准面上投影位置的确定

地面点在大地水准面上的投影位置，可用地理坐标和平面直角坐标表示。

（1）地理坐标

地理坐标是用经度L和纬度B表示地面点在大地水准面上的投影位置，如图1-2所示。由于地理坐标是球面坐标，不便于直接进行各种计算，这种表示点位的方法常用在大地测量学中，在工程测量中一般不使用此坐标系。

（2）高斯平面直角坐标

如果直接将地面点投影到水平面上进行计算，受地球曲体结构的影响，会产生较大的投影变形，由此导致地面点位确定不准。如果将地面上的点首先投影到椭圆体面上，再按一定的条件投影到平面上来，形成统一的平面直角坐标系，这样可以得到可靠的测量成果。高斯投影的方法就是采用这一思想解决了上述问题。

高斯投影理论是由德国测量学家高斯首先提出。其基本思想如图1-3（a）所示，设想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，使它与椭球上某一子午线（该子午线称为中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法，将中央子午线两侧一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿其母线剪开并展成平面，此平面即为高斯投影平面。

在高斯投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线。以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴x，规定x轴向北为正；以赤道的投影为横坐标轴y，规定y轴向东为正，由此，便建立形成了高斯平面直角坐标，如图1-3（b）所示。

高斯投影中，除中央子午线外，各点均存在长度变形，且距中央子午线越远，长度变形越大。为了控制长度变形，将地球椭球面按一定的经度差分成若干范围不大的带，称为投影带。带宽一般分为经差6°带和6°带。

①6°带。高斯投影6°带是从0°子午线起，每隔经差6°自西向东分带，依次编号1，2，3，…，60，将整个地球划分成60个6°带，如图1-4所示。每带中间的子午线称为轴子午线或中央子午线，各带相邻子午线称为分界子午线。我国领土横跨11个6°投影带，即第13～23带。带号N与相应的中央子午线经度L₀的关系为

L₀=6N−3（1-1）

②3°带。自东经1.5°子午线起，每隔经差3°自西向东分带，依次编号1，2，3，…，120，将整个地球划分成120个3°带，每个3°带的中央子午线为6°带的中央子午线和分界子午线。我国领土横跨22个3°投影带，即第24～45带。带号n与相应的中央子午线经度l₀的关系为

l₀=3n（1-2）

我国领土位于北半球，在高斯平面直角坐标系内，各带的纵坐标x均为正值，而横坐标y有正有负。为了使各带的横坐标y不出现负值，规定将x坐标轴向西平移500km，即所有点的y坐标值均加上500km（见图1-5）。此外，为便于区别某点位于哪一个投影带内，还应在横坐标前冠以投影带号。以此建立了我国的国家统一坐标系——高斯平面直角坐标系。

例如：地面A点的坐标为x_A=3276611.198m；y_A=−376543.211m，为了避免y坐标出现负值，纵轴西移500km后：y_A=500000−376543.211=123456.789m，假若该点位于第19带内，横坐标前冠以投影带号，则地面A点的国家统一坐标值为x_A=3276611.198m，y_A=19123456.789m。

再如，地面B点的国家统一坐标为x_B=321821.98m，y_B=20587307.25m，从中可以看出B点在第20带，属6°带，其投影带内的坐标为x_B=321821.98m，y_B=87307.25m。

（3）独立（假定）平面直角坐标系

在普通测量工作中，当测量区域较小且相对独立时（较小的建筑区和厂矿区），通常把较小区域的椭球曲面当成水平面看待，即用过测区中部的水平面代替曲面作为确定地面点位置的基准，如图1-6所示。在此水平面内建立一个平面直角坐标，以地面投影点的坐标来表示地面点的平面位置，即地面点在水平面上的投影位置，可以用该平面的直角坐标系中的坐标x、y来表示。这样选择建立的坐标系对测量工作的计算和绘图都较为简便。

测量上通常以地面点的子午线方向为基准方向，由子午线的北端起按顺时针确定地面直线的方位，使平面直角坐标系的纵坐标轴x与子午线北方一致，象限排列如图1-7（a）所示。这样选择直角坐标系可使数学中的解析公式不做任何变动即可应用到测量计算中。显然坐标纵轴x（南北方向）向北为正，向南为负；坐标横轴y（东西方向）向东为正，向西为负。平面直角坐标系的原点，可按实际情况选定。通常把原点选在测区西南角，其目的是使整个测区内各点的坐标均为正值。在此，应注意测量坐标系与数学坐标系的不同，数学坐标系的象限关系及坐标轴名称见图1-7（b）。

2.地面点高程位置的确定

地面点到高度起算面的垂直距离称为高程。高度起算面又称高程基准面。选用不同的面作高程基准面，可得到不同的高程系统。

为了建立全国统一的高程系统，必须确定一个高程基准面。通常采用平均海水面代替大地水准面作为高程基准面，平均海水面的确定是通过验潮站长期验潮来求定。

我国是以在青岛观象山验潮站1952—1979年验潮资料确定的黄海平均海水面作为高程起算的基准面，此黄海平均海水面即为我国的大地水准面，该基准面称为“1985国家高程基准”。由1985年国家高程基准起算的青岛水准原点的高程为72.260m。

地面点的绝对高程是以大地水准面为高程基准面起算的。即地面点沿铅垂线方向到大地水准面的距离称为该点的绝对高程（又称海拔），用H表示，如图1-8所示。地面点A、B的绝对高程分别表示为H_A、H_B。

地面上两点间的高程差称为高差，如图1-8所示，用h_AB表示A、B两点间的高差。高差有方向和正负之分，A点至B点的高差为

h_AB=H_B−H_A（1-3）

当h_AB为正时，说明B点高于A点。而B点至A点的高差为

h_BA=H_A−H_B

当h_BA为负时，说明A点低于B点。可见，A至B的高差与B至A的高差绝对值相等而符号相反，即

h_AB=−h_BA

在局部地区，如果引用绝对高程有困难，可采用假定高程系统，即可以任意假定一个水准面作为高程起算面，地面点到任意选定的水准面的铅垂距离称为该点的相对高程（或假定高程），如图1-8中的H′_A、H′_B。在建筑工程中所使用的标高就是相对高程，它是以建筑物室内地坪（±0.000）为高程基准面起算的。由图1-8可以看出

h_AB=H_B−H_A=H′_B−H′_A（1-4）

可见对于相同的两点，不论采用绝对高程还是相对高程，其高差值不变，均能表达两点间高低相对关系，故两点间的高差与高程起算面的取定无关。

3.地面点位确定的三要素及测量基本工作

测量工作的实质是确定地面点的位置。在小地区范围内，确定一个点的位置可用其平面坐标x,y和高程H三个坐标量来表示。在实际工作中，点的平面坐标和高程通常不是直接测量的，而是通过测量已知点与待定点之间的几何位置关系（即角度、距离和高差），最后计算出待定点的平面坐标和高程。

如图1-9所示，设A、B、C为地面上的三点，其在水平面上的投影分别为a、b、c。如果A点的坐标和高程已知，要确定B点的位置，由数学几何原理可知，需要确定水平投影面内A点到B点的水平距离D_AB和AB直线（或BA直线）的方位，而A、B两点的水平距离D_AB可以用其在水平投影面内的投影长度ab表示，AB直线的方位可以用通过a点的（或b点的）指北方向线（即坐标纵轴北方向）与ab投影线的夹角（即水平角）α表示。这样，有了D_AB和α，便可计算出投影点b的平面坐标，由此即确定出B点的平面位置。至于B点的高程坐标，可以通过测量A、B两点的高低关系来确定，即B点的高程H_B可以通过测量A、B两点间的高差h_AB再经计算确定。这样结合B点的平面位置和高程坐标，其空间位置就完全确定了。若需继续确定C点的空间位置，则需要测量BC在水平面上的水平距离D_BC及b点上相邻两边的水平夹角β，还有C点相对B点的高差h_BC。也就是说，为确定未知点的空间位置，只需测得水平距离、水平角度及地面点间的高差等外业观测数据后，再采用三角几何运算，便可依据已知点坐标推算出未知点的坐标，最终确定出待定点的空间位置。

由此可见，水平距离、水平角和高差是确定地面点位置的三个基本要素。所以，在测量工作中，水平距离测量、水平角测量和高差测量是测量的三项基本工作。

测量工作分为外业和内业。外业工作主要是指进行野外数据采集工作，包括测角、量边、测高差和碎部点等。内业工作是指对采集的外业数据进行计算、处理、编辑和图纸绘制等活动，主要内容是整理外业测量的数据，进行计算和绘图。当然，外业工作也包括一些简单的计算和绘图内容。

4.用水平面代替水准面的限度

实际测量工作中，在一定的测量精度要求和测区范围不大的情况下，通常用水平面直接代替水准面作为数据解算的基准，因此应当了解地球曲率对水平距离、水平角和高差等观测数据解算的影响，从而决定在多大的面积范围内容许用水平面代替水准面。在分析过程中，假定大地水准面为圆球面，其平均曲率半径R=6371km。

（1）水准面曲率对水平面距离的影响

如图1-10所示，设地面上A、B、C三个点在大地水准面上的投影点是a、b、c，用过a点的切平面代替大地水准面，则地面点在水平面上的投影点是a′、b′、c′。设ab的弧长为D，a′b′的长度为D′，圆球面的曲率半径为R，D所对的圆心角为θ，则用水平长度D′代替弧长D所产生的误差为

ΔD=D′−D（1-5）

将D=Rθ，D′=Rtanθ代入式（1-5），整理后得：

ΔD=R(tanθ−θ)（1-6）

将tanθ展开为级数式：

因D比R小得多，θ角很小，只取级数式前两项代入式，得

将θ=D/R代入上式，得

取R=6371km，用不同的D值代入式（1-7）得到表1-1的结果。当两点相距10km时，用水平面代替大地水准面产生的长度误差为0.8cm，相对误差为1/1220000，小于目前精密测绘的允许误差。所以在半径为10km测区内进行距离测量时，可以用水平面代替大地水准面。

（2）水准面曲率对水平角度的影响

从球面三角学可知，球面上三角形内角之和比平面上相应的三角形内角之和多出一个球面角超ε，如图1-11所示。其值可根据多边形面积求得，即

式中：ε为球面角超（″）；P为球面多边形面积（km²）；ρ′′为1rad所对应的秒角值，ρ′′=206265′′；R为地球半径（km）。

表1-2为水平面代替水准面对水平角的影响。以球面上不同的面积代入式（1-8）中，求出球面角超，填入表1-2中。

计算结果表明，当测区范围在100km²时，水平面代替水准面对水平角的影响仅为0.51″，在普通测量工作中可以忽略不计。

（3）水准面曲率对高程的影响

在图1-10中，以大地水准面为基准的B点绝对高程H_B=Bb，用水平面代替大地水准面时，B点的高程H_B′=Bb′，两者之差Δh就是对高程的影响，也称为地球曲率的影响。在△Oab′中，

D与D′相差很小，可用D代替D′，Δh与2R相比可忽略不计，则

对于不同的D值，对高程的影响如表1-3所示。

计算表明，水准面曲率对高程的影响较大，即使在很短的距离内进行高程测量时，也必须考虑水准面曲率对高程的影响。