第二十六章　反比例函数

第一节　反比例函数的图像和性质

学习目标

1. 体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.

2. 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式理解反比例函数图像的性质.

3. 能用反比例函数解决简单实际问题.

知识精讲

1. 反比例函数的概念：形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.

注：① 自变量x在分母上，指数为1.

② 比例系数k≠0.

③ 自变量x的取值范围是x≠0，函数值y的取值范围是y≠0.

④ 反比例函数的其他形式：y=kx-1（k≠0）.

2. 反比例函数的图像和性质.

（1）图像：反比例函数的图像是双曲线，也称为双曲线.

（2）反比例函数的性质，如表26-1-1所示.

注：（1）y随x变化的趋势必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.

（2）（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.

3. 待定系数法求反比例函数的解析式. 只需将反比例函数图像上一个点的坐标代入函数解析式，求出k，进而确定反比例函数的解析式.

方法提炼

1. 反比例函数（k为常数，k≠0）图像上的任意一点的横、纵坐标之积等于比例系数k．

2. |k|的几何意义，如表26-1-2所示.

3. 反比例函数的图像的对称性.

（1）中心对称图形：对称中心是原点.

（2）轴对称图形：对称轴是直线y=x和直线y=-x.

4. 数形结合思想.

（1）点与数的对应体现数形结合，点的坐标是连接函数图像和函数解析式的纽带.

（2）点的坐标和线段长度之间的相互转化：坐标确定，线段长度确定；线段长度确定，点的坐标可能不唯一确定.

典例精析

例题1. 已知：函数是反比例函数，求m的值.

【思路点拨】根据反比例函数的变式：y=kx-1，得m2-5=-1，且m+2≠0.

【解】由题意得：m2-5=-1，∴m2=4，∴m=±2.

∵m+2≠0，∴m≠-2，∴m=2.

例题2. （1）已知反比例函数的图像经过点P（-1，2），则这个函数的图像位于（　　）.

A. 第二，三象限

B. 第一，三象限

C. 第三，四象限

D. 第二，四象限

（2）已知反比例函数图像上三个点的坐标分别是A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y2>y1>y3

D. y2>y3>y1

【思路点拨】（1）根据点P（-1，2）在第二象限可确定双曲线的另一支在第四象限. 或者求出函数解析式观察图像，再确定图像所经过的象限.

（2）本题考查反比例函数图像的性质，由于三点不在同一象限内，不能用反比例函数增减性来比较大小，可以求出y1，y2，y3的值来比较大小，也可借助函数图像比较大小，如图26-1-1所示.

【答案】（1）D　（2）C

典题精练

1. 已知点M（-2，3）在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　）.

A. （3，-2）

B. （-2，-3）

C. （2，3）

D. （3，2）

2. 已知函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　）.

A. 2

B. -2

C. ±2

D.

3. 已知点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数的图像上. 下列结论中正确的是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y3>y1>y2

D. y2>y3>y1

4. 在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与的图像大致是（　　）.

5. （1）如图26-1-2所示，点B在反比例函数的图像上，过点B作AB⊥x轴于点A，△ABO的面积为1.5，则k的值是（　　）.

A. 3

B. -1.5

C. -3

D. -6

（2）反比例函数在第一象限的图像如图26-1-3所示，则k的值可能是（　　）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

（3）如图26-1-4所示，点B、P在函数的图像上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（　　）.

A. 长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等

B. 点B的坐标为（4，4）

C. 的图像关于直线OB对称

D. 长方形FOEP和正方形COAB的面积相等

6. 反比例函数的图像上有（x1，y1）、（x2y2）、（x3，y3）三个点，其中x1<x2<0<x3，则y1、y2、y3的大小关系是________.

7. 函数的图像与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是________.

8. 如图26-1-5所示，点A、B是函数y=x与的图像的两个交点，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，则四边形ACBD的面积为________.

9. 已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图像经过点A（2，3）.

（1）求这个函数的解析式；

（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图像上，并说明理由.

10. 如图26-1-6所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（-1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.

（1）求m、n的值；

（2）求直线AC的解析式.

中考真题

真题1. （河北）定义新运算：，则函数y=2⊕x（x≠0）的图像大致是（　　）.

真题2. （四川宜宾）如图26-1-7所示，直线y=x-1与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（-1，m）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P（n，-1）是反比例函数图像上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积.