第二节　一元二次方程根的判别式

学习目标

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两实根是否相等.

2. 会由方程的根的情况确定方程中待定字母系数的取值范围.

知识精讲

1. 关于x的方程经过整理，都能化成ax2+bx+c=0（a≠0），使用配方法对其配方，可得到

因为a≠0，所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况.

（1）当b2-4ac>0时，有两个不相等的实数根：

（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：

（3）当b2-4ac<0时，，方程无实数根.

一般地，式子b2-4ac叫作方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式，通常用希腊字母Δ（读作：德尔塔delta）表示，即Δ=b2-4ac.这样，不用解这个一元二次方程，只需计算判断Δ的符号，就可以知道方程的根的情况；反之，知道了方程的根的情况，就可判断出Δ的符号情况（往往会得到关于字母系数的方程或不等式）.

2. 根与判别式的关系

（1）b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根.

（2）b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根（不能说方程只有一个实数根）.

（3）b2-4ac<0⇔方程无实数根.

注：① 根的判别式是指b2-4ac，而不是.

② 符号“⇔”表示由左侧条件推出右侧结论，也可由右侧结论推出左侧结论.

③ 不能写方程无解——要写成“无实数解”或“无实数根”.

④ b2-4ac≥0⇔方程有实数根.

⑤ 若a,c异号，则b2-4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根.

方法提炼

以判别式为工具的题目，大致有以下三种类型.

1. 方程中的a，b，c均为已知数，判断根的情况：把方程化为一般形式，计算出判别式Δ=b2-4ac的值，进而判断根的情况.

2. 整理为一般形式后a，b，c中含有字母，判断根的情况要分类讨论：

（1）当a=0时，方程为一元一次方程，是否有根；

（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，先求Δ的表达式，然后对它进行恒等变形，判断出它的符号，再根据Δ的符号得出此种情况的结论.

最后对上述两种情况的结论进行综合，写出本题的最终答案.

注：在判断Δ的符号的变形过程中，经常使用因式分解、配方法等变形技巧.

3. 题目中给出了方程根的情况的结论，求a、b、c中待定字母的取值或取值范围：

（1）要认真审题，分清是关于哪个未知数的方程，要把方程整理为一般式.

（2）根据二次项系数是否为零，来判断是一元二次方程或一元一次方程.

（3）题目给出根的情况时，要列出相应的a≠0及Δ=b2-4ac的方程或不等式（以方程中的待定字母，如a，k，m，n，p为未知数）；条件丰富时，有可能列出的是不等式组、方程组、不等式与方程的“混合组”.

注：① 题目中所给“一元二次方程”、“有两个不等实根”、“有两个相等实根”、“有两个实数根”都包含a≠0这一条件.

② 题目中没有强调是什么方程，且方程有实根，那么可以是“一元一次方程有根”或“一元二次方程有实根”，所以要分类讨论.

③ 列得的“混合组”中，条件允许时，优先计算方程，再用不等式对答案进行取舍（特别是二次不等式，一般只能用来进行验证）.

（4）解出所列的不等式（组）、方程（组），并根据题目限制，写出所求字母的范围、整数解、非负整数解、自然数解、最大整数解、最小整数解等.

注：注意二次项系数是否为0，经常用它来取舍答案.

（5）在此类综合题中，也有可能运用刚刚求得的待定字母值，代入其他方程或式子解决新的问题.

注：① 根据题目要求，应及时对答案进行取舍.

② 要看清后续问题是否可以使用前问的答案，连续问题要及时检验，避免一错再错.

③ 分类讨论后，要对本题答案进行归纳综合，再写出最终的结论.

④ 结论表达中，注意“且”、“或”所表达的逻辑关系的不同.

典例精析

例题1. 不解方程判断下列关于x的方程根的情况：

① 3x2+2=；② x2-2mx+4（m-1）=0；③ 4x2+2nx+n2-2n+5=0.

【思路点拨】　（1）关于x的方程——以x为未知数的方程，字母m，n是常数.

（2）二次项的系数均不为零，三个方程均为一元二次方程，判断根的情况只需计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断其符号即可得到结论.

（3）对于②，③两个含有字母已知数的方程，Δ会是一个代数式，要灵活应用因式分解、配方法等变形技巧.

【解】① 方程可化为3x2-2+2=0，其中a=3，b=-2，c=2.

Δ=b2-4ac=（-2））2-4×3×2=24-24=0

∴原方程有两个相等的实数根.

② 方程中a=1，b=-2m，c=4（m-1）.

Δ=b2-4ac=（-2m）2-4×1×4（m-1）=4（m-2）2≥0

∴原方程有两个实数根.

③ 方程中a=4，b=2n，c=n2-2n+5.

Δ=b2-4ac=（2n）2-4×4（n2-2n+5）=4n2-16n2+32n-80=-12n2+32n-80

=

∴原方程没有实数根.

例题2. 关于x的方程（m+1）x2-（2m+3）x+m+3=0有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围.

（2）当m取最大整数解时，关于x的方程k2x2-2（m-k）x+3（1-x）-2=0有实数根，求k的取值范围.

【思路点拨】　本题是关于x的方程——以x为未知数的方程，字母m,k是已知数.

（1）由方程有两个不相等的实数根，可知原方程一定是一元二次方程，得m+1≠0且Δ>0，解这两个不等式组成的不等式组，求出m的取值范围，在这个范围里求得m的最大整数解.

（2）方程中有两种字母系数，要把（1）中求得的m的值代入，就变为只含有字母k的方程.并且没有强调是什么方程及根的个数.所以要分情况讨论：a=k2=0，方程是一元一次方程；a=k2≠0，方程是一元二次方程.综合上述两种情况写出最后的结果.

【解】（1）∵原方程有两个不相等的实根，∴

由①解得m≠-1.

由②得Δ=[-（2m+3）]2-4（m+1）（m+3）=-4m-3.即-4m-3>0，∴m<.

综上所述，当m<且m≠-1时，原方程有两个不相等的实数根.

（2）由（1）可知m的最大整数解是m=-2，代入（2）中方程得：

k2x2-2（-2-k）x+3（1-x）-2=0

整理得

k2x2+（2k+1）x+1=0

① 当k2=0，即k=0时，原方程化为x+1=0，是一元一次方程，有实数根.

② 当k2≠0，即k≠0时，原方程是一元二次方程.

Δ=（2k+1）2-4k2×1=4k+1

∵方程有实数根.∴4k+1≥0，解得k≥.

∴当k≥且k≠0时，一元二次方程有实根.

综上所述，当k≥时，关于x的方程k2x2-2（m-k）x+3（1-x）-2=0有实数根.

注：②中要对分类讨论的结果进行归纳综合后写出最后结论.

典题精练

1. 一元二次方程x2+2mx+m-1=0的根的情况是（　）.

A. 有两个相等的实数根

B. 只有一个实数根

C. 有两个不相等的实数根

D. 没有实数根

2. 关于x的方程kx2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　）.

A. k＜4

B. k≤4且k≠0

C. k≥4且k≠0

D. k＜4且k≠0

3. 关于x的方程（p-2）x2+（1-2p）x+p=0有实数根，则p的取值范围是（　）.

A. p≤

B. p≥

C. p≥且p≠2

D. p＞2

4. 关于x的方程x2-2-1=0有实根，求k的取值范围是______.

5. 当n为_____时，关于x的方程（n+1）x2+（2n+5）x+n-1=0没有实数根.

6. 已知关于x的方程（2m-1）x2-8x+6=0没有实数根，则m的最小整数值是_____.

7. k为何值时，方程2kx2+（8k+1）x+8k=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（4）有实数根？

8. 证明：无论m、n取何值，关于x的方程mx2+（m+n）x+n=0都有实数根.

9. 已知关于x的方程2x2-3x+m+1=0，（1）当m<0时，求这个方程的根；（2）如果这个方程无实数根，求m的取值范围.

10. 已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值，并求出此时方程的根.

中考真题

真题1.（四川成都）一元二次方程x2＋x-2＝0的根的情况是（　）.

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 没有实数根

真题2.（四川泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　）.

A. k＞-1

B. k＜1且k≠0

C. k≥-1且k≠0

D. k＞-1且k≠0