效用函数与偏好的类型[1]
在介绍完效用计算的技术细节和一些对效用概念的常见误解以后，现在我要说明效用函数的使用。我们常常把结果看作一个连续的集合，并定义一个覆盖这些结果的效用函数。虽然结果很少是连续的（即使钱也无法为了实用而被分为比分更小的单位），但把一个大的结果集合看作一个连续的集合常常更为方便。例如，一位候选人能采纳的对于某事项的立场很多，但大体上只是一个有限的数目。如果立场的数目很大的话，如一百个或更多，那么把对于某事项的立场的集合表示为一个从可能采取的对于该事项的最左的立场到可能采取的最右立场的连续统（continu-um）则更为方便。函数让我们能够很容易明确每个立场的效用。一个立场的效用是效用函数在该立场的取值。
例如，令x为在-10和10之间的一个数。令u（x）=ax+b，且a＞0，因而x越大越好——效用随着x的递增而递增。x=2确定比L=（0.5，x=1；0.5，x=3）更受偏好吗？
u（2）=a（2）+b=2a+b，
且
u（L）=0.5[a（1）+b]+0.5[a（3）+b]
=0.5a+0.5b+1.5a+0.5b=2a+b。
一个确定的结果2和一个抽奖L对于该决策者来说是无差异的，即u（2）=u（L）。
现在令L′=（0.5，x=-1；0.5，x=5）和L*=（0.3，x=-10；0.7，x=8）。二者哪一个更受偏好？
u（L′）=0.5[a（-1）+b]+0.5[a（5）+b]=2a+b，
且
u（L*）=0.3[a（-10）+b]+0.7[a（8）+b]=2.6a+b
故此L*PL′。
这两个答案没有任何一个是依赖于a或b的值的大小（给定a＞0）。效用函数只是由一个线性转换决定。你可以为一个效用函数加上任何一个数或乘上任何一个正数，得到的函数表示同样的对抽奖的偏好。这一性质部分决定了为什么在人和人之间比较效用是不被允许的。如果我们能够一直给我们的效用函数乘上任意正数并保留它能够表示我的偏好，那么在任意两个结果之间的效用差异的大小就是无意义的。我们仅仅通过让我们的效用函数乘上一个大的数就能够让两个结果之间的效用差异要多大就有多大。
然而，效用函数又如何体现不同的风险承担的意愿呢？答案是体现在它们的形状上。上面的效用函数ax+b根据赌局的数学期望（mathematical expectation）（对数学期望的定义见附录一）来评价赌局。前两个赌局有同样的期望价值，就是2。后两个赌局的第一个其期望价值为2，第二个其期望价值为2.6。我们可以说明，运用这一效用函数所得到的任何赌局的期望效用都是a（赌局的期望）+b。风险中性（risk-neutral）的行为者没有喜欢或厌恶风险赌局的溢价（premi-um）。他们仅仅根据各个赌局的期望值来评价赌局。风险中性的效用函数是线性的。
练习2.5：请说明：对于u（x）=ax+b，一个满足G=（p1x1，p2x2，……，pnxn）的赌局G的期望效用是aE（G）+b，其中E（G）=
是G的期望。
喜欢或厌恶风险的偏好由效用函数的形状表示出来。不愿意承担风险的决策者的效用函数是从一根直线往上弯曲成弓形，形状像一只倒过来的碗。用数学术语来说是凹向下的（concave downward）；该效用函数的二阶导数（second derivative）是小于零的，即u″（x）＜0。这样的行为者被称为风险规避的（risk averse）。在具有相等期望的赌局中，风险规避的行为者偏好一些结果变动较小的赌局。进一步说，风险规避的行为者偏好一些风险较小同时具有较低期望的赌局胜过其他赌局。风险接受（risk acceptant）的偏好由弯到一条直线下面的效用函数所表示。其数学术语是凹向上的（concave upward）；该效用函数的二阶导数是大于零的，即u″（x）＞0。风险接受的行为者在具有相同期望的赌局集合中偏好风险大的赌局。他们还偏好一些风险较大同时具有较低期望的赌局胜过其他赌局。风险接受并非意味着这样的行为者总是偏好具有较大风险的赌局，风险规避也并非意味着这样的行为者总是偏好具有较小风险的赌局。一个行为者比另一个行为者更为风险接受意味着前者接受所有后者接受的赌局，还会接受一些后者不接受的赌局。
图2.1显示有三个效用函数：一个风险中性的效用函数urn，一个风险规避的效用函数urav，一个风险接受的效用函数urac。横轴表示结果，纵轴表示效用。考虑一个选择，一边是确定的中间结果M，另一边是一个要么得到最好结果B（以p的概率）要么得到最坏结果W（以1-p的概率）的赌局。所有三个决策者对最好的结果和最坏的结果都分别有同样的效用。令M满足风险中性的决策者在该抽奖和确定的中间结果之间是无差异的，即urn（M）=pu（B）+（1-p）u（W）=EU。正如以上提到的，风险中性的效用函数是线性的。风险规避的效用函数位于风险中性的函数的上面且拱起成弓形。风险规避的效用函数偏好确定的中间结果胜过抽奖，因为中间结果的效用大于抽奖的期望效用，即urav（M）＞EU。风险接受的效用函数位于风险中性的函数的下面且弯曲成弓形。它偏好该抽奖胜过确定的中间结果，因为抽奖的期望效用大于确定的中间结果的效用，即urac（M）＜EU。
图2.1 具有不同的风险态度的三个效用函数
效用函数不需要对于全部取值范围都具有同样的风险态度。它们可以在某些区域内是风险规避的而在其他区域内则是风险接受或风险中性的。
在不同时间的偏好
当行为者在几个时段接受奖励时，他们还可能会在不同时间有不同的偏好。模型经常假定行为者在同等长度的几个时间段作选择，每个时间段的长度是固定的，并且事先是已知的。较早的令人向往的结果更受偏好。贴现因子（discount factor）表示决策者对收益缺乏耐心。一个行为者的贴现因子（通常记为δ）落在0到1之间。贴现因子越小，行为者越偏好现在的奖励胜过以后的奖励。如果一个结果的效用现在是x，那么距离现在一个时间段的该结果的贴现价值就是δx，距离现在两个时间段的贴现价值是δ2x，如此类推。
