第七章　语言本身有多简单推理就有多简单

喜欢综合法甚于分析法的人错在哪里？

尽管分析是独特的方法，但甚至连数学家都一直准备抛弃它，他们似乎只在不得已的时候才运用分析法。他们更喜欢综合法，认为综合法更加简明扼要，然而他们运用综合法写出的作品却很含糊很冗长。[27]

我们刚才看到这个综合法正好与分析法相反。综合法使我们离开发现之路；然而大多数数学家自以为综合法最适合于教学。他们自信撰写基础课本只需采用综合法。

克莱特（Clairaut）则另有想法。我不知道欧拉（Euler）先生和拉格朗日（La Grange）先生是否说过他们想过这个问题。不过他们所做的似乎是说过。因为在他们撰写的代数基础课本中，不见有分析法的运用。[28]

这些数学家对综合法的赞同可能是为了让人家看重他们。所以其他人应该尤其对综合法怀有好感，相信分析，相信它是引导人获得发明的方法，而不是教义的方法，还相信为了从他人那里学得发明，可能有一种比我们已经用来获得发明的方法更为可取的方法。

假如每当人们能够运用综合法时，分析法就普遍地被排除于数学领域，那么分析法的通向其他学科的道路似乎关闭了，分析法仅仅被探索者不知不觉地采用了。这就是为什么在如此多的古今哲学家的著作中只有极少部分写得让人读来受益。当分析法未证明事实时，事实是很少可辨认的，相反，综合法则用一堆含糊的概念将诸多看法、错误将事实掩盖起来，而且形成某种难懂的话，用来充当艺术的和科学的语言。

如果全部科学以某种特别简单的语言来表述，那么全部科学势必是确切的

只要稍微思索一下分析，就会意识到分析愈是单一愈是准确，它放射出的光芒就愈是耀眼。如果人们记住了推理方法归结于某种完备的语言，那么可以断定，分析法的最大单一性和最大准确性只可能产生于语言具有的最容易使自己让人理解且语言具有的最大程度的准确性。因此我们必须有向单一性和准确性靠拢的意识，让我们全部的研究尽可能地接近单一和准确的境地。

经过严密证明的科学称为“精密科学”。而为什么不是所有的科学都属于精密的呢？而且，对于那些科学，如果人们未予以严密证明，那又该如何证明它呢？想到很多证明在必要时不被当作证明，人们是否清楚地知道自己想说什么呢？

一个证明除非严密证明，否则就不是证明。但是应该承认，如果证明没能达到表达全部意思的水平，那么证明似乎不成为证明。这样看来，如果证明不严密，那不是科学的错，而是没有把话说准确的智者犯的错。

作为数学语言的代数是所有语言中最为简单的。是不是仅在数学领域才有证明呢？而且，由于其他学科不能够跟数学具有同样的单一性，所以其他学科是不是会被指责为因其单一性不够，以致人们不能相信关于这些学科的证明？

证明所有科学的正是分析。每当分析表达了全部的意思，这个就属于严密的。我清楚地知道，人们区分不同的分析，例如逻辑分析、玄学分析、数学分析。但是只有一种分析在所有学科中的用途是一样的，因为在所有学科中，这种分析通过推理，也就是说通过一系列由此及彼的判断，引导人们从已知走向未知。如果我们尝试解答一般地只能借助代数来解答的问题，那么我们就用代数语言来表达一个概念。我们将选择一种最易让人理解的语言，用这样的语言是我们能够做到的，另外，这么做也将足以使全部推理方法得以施展。

看一个证实以上所说的问题

“假设我两手握有硬币，如果我把右手中的一枚硬币移到左手，那么我的两手握有的硬币数量相等；如果我把左手中的一枚硬币移到右手，那么我的右手中的硬币数量将是我的左手中的硬币数量的两倍。”我问你们我的两只手中各有多少枚硬币。

重要的不是去猜测假设中的这个数，而是应该通过推理去找到这个数，也就是通过一系列判断依据已知的去解得不知的。

这里有两个已知条件；或者，用数学家的话说，有两个已知量：一个是，假如我把一枚硬币从右手放到左手，那么我的两手握的硬币数量相等；另一个是，如果我把左手中的一枚硬币放到右手，那么我的右手中的硬币数量将是左手中的两倍。然而，你们看到，若有可能找到我要求你们去探索的那个数，唯有经过观察这两个已知量相互之间的关系，而且你们意识到这两个关系或多或少是可察觉的，人们会运用某种较为简单的方式来表达该已知量。

如果你们说：“当从右手移走一枚硬币时，你们右手握有硬币的数量等于你们左手握有硬币的数量再增加一枚；”那么你们要说好多话来表达第一个已知量。所以你们就概括地说：“你们右数减一，等于你们左数加一；”或者说，“你们的右侧少一，等于你们的左侧多一”；还有更概括的：“右少一等于左多一。”

就这样，各种表达演变到最后，我们终于有了关于第一个已知量的最简表达。而你们越是缩短你们的言语，你们的各个概念就靠得越近；且你们的各个概念靠得越近，你们将越容易知道所有概念之间的关系。这样，接下来我们就像探讨第一个已知量那样探讨第二个已知量；应该以最简单的表达方式来表达这第二个已知量。

根据问题的第二个条件，假如我把一枚硬币从左手移到右手，那么右手中的硬币数将是左手中的硬币数的两倍。故我左手中硬币数减一个单位是我右手中硬币数增一个单位后的一半。于是，你们可按如下说法来表达第二个已知量：“你们右手中的数增一，等于你们左手中的数减一后的两倍。”

你们有一个更简单的表达方式说出此意思，如果你们说：“右增一等于两左各减一。”你们终于有了所有表达方式中最简单的一种：“右加一等于两左减二。”因此这里我们把已知量的各种表达形式转化为：

右减一等于左加一；

右加一等于两左减二。

这种表达方式在数学中称为“方程”。方程是由两个相等端边组成：“右减一”是第一个方程的第一个端边；“左加一”是第一个方程的第二个端边。

各端边混有未知数和已知数。已知数是“减一”、“加一”、“减二”，未知的是“右”和“左”，据此你们表达了所求的两个数。

只要已知数和未知数是这样混在方程的各个端边，就不可能解答一个问题。但是，稍作思考就可以注意到，若有一种方法将两端边的各种量移动同时又不改变两端边已有的等同关系，那么我们将只在一端边放置两个未知数的一个，而将混在这一端边的已知数移到另一端边。

这个方法的产生是自然的，因为若有右减一等于左加一，就有整个右端边等于左端边加二；若右加一等于两个左减二，因此整个右端边将等于两个左减三。因此你们将以下两个方程替换前面两个方程：

右等于左加二，

右等于两左减三。

这两个方程的第一个端边是一个相同的量——“右”；你们看到当你们知道任一个方程的第二个端边之值时，你们将知道“右”这个量。但是第一个方程的第二个端边等于第二个方程的第二个端边，因为两个第二个端边等同于表述为“右”的量。于是，你们可以得出第三个方程：

左加二等于两左减三。

在这种情况下，你们只需解一个未知数——“左”；当你们将其提出时，也就是说，当你们已经把所有已知量放到同一侧时，你们就会知道它的值。于是你们说：

二加三等于两左减一左。

二加三等于一左。

五等于一左。

问题得解。你们已经发现，我左手握有的硬币数是五。在这些方程中，“右等于左加二，右等于两左减三”，你们会发现，七是我右手握有硬币的数。然而五和七这两个数，满足于问题的各个条件。

用代数符号来表示问题的解

在这个例子中，你们明显地看到，简单的表达方式是如何方便推理的；且你们懂得了，当一个问题和我们刚刚解的那个问题一样让人易懂时，如果需要分析这样一种共同语言，那么当这些问题成为复杂时，就更需要分析了。在数学领域，分析法的优势还在于，只需用最简单的语言来说明问题。一个简单的代数概念足以让人理解问题。

以这种语言解题是不需要文字的。+表示“加”，-表示“减”，=表示“等于”，人们还设计了字母和数字来表示数量。例如x, y分别表示我的右手和左手中握有硬币的数量。由此，x-1=y+1的意思是：我的右手握有硬币的数量减去一等于我的左手握有硬币的数量增加一；而x+1=2y-2的意思是：我的右手握有硬币的数量增加一等于两倍于我的左手握有硬币的数量减去一。于是，我们的问题的两个已知量包含在如下两个方程中：

x-1=y+1，

x+1=2y-2，

提出第一个端边的未知数，

x=y+2，

x=2y-3，

根据这两个方程的右端边情况，我们得出：

y+2=2y-3，

接着得出：

2=2y-y-3，

2+3=2y-y，

2+3=y，

5=y。

最终，因x=y+2，我们得出x=5+2=7；因x=2y-3，我们同样得出x=10-3=7。

一个推理的明证性只存在于从一个判断到另一个判断的同一性中

这种代数语言使人懂得，一种一看就明白的方式是如何使得人们在推理中将各个判断相互联系在一起的。人们看到，最后的判断包含在倒数第二个判断中，而倒数第二个判断包含在它前面一个判断中，就这样接连地追溯，这是因为最后的判断和倒数第二个判断有同一性，倒数第二个判断和在它前面的一个判断有同一性……人们认识到，这个同一性完全成了推理的明证。

一个推理当以文字形式展开时，它的明证性导致随后诸多判断同样明显地具有明证性。实际上，随后的一系列判断是一样的，只是在表达方式上有所改动。应该说，仅当人们用代数符号来表达时，才觉得用等式更加方便。

但是既然人们觉得等式在一定程度上是方便的，那么为了确定一个推理是严密的证明，用等式表示就足够了，且不必去设想科学只有当人们用x、a和b来表达时才是精密的，才算是在证明科学。如果有人觉得这样的证明不可接受，那是因为他们在这些符号形成一种语言之前，就使用符号来表达了，甚至未觉察到必须使符号成为语言。因为所有的推理甚至有精确性，如果人们完全用完备的语言来表达，那么所有的推理就有同样的真实性。在此著作第一部分我们对玄学所作的论述就是这样的情况。例如，我们解释精神机能的生成，仅仅因为我们觉察到了精神机能和感觉机能具有同一性，而且我们运用文字作的推理跟用字母作的推理似乎同样得以严密地证明。

不太精密的科学是因为表述科学的语言组织得不好

因此如果科学不太精密，不是因为没有用代数的语言来表述，而是因为表述科学的语言组织得不好，而且人们并没有意识到这一点，或者，即使人们察觉到了，重新形成的语言仍然组织得不好。当科学语言仅仅是由大量词语组成的专业用语时，其中有些是没有确定含义的普通词语，另有一些是陌生的或者是令人费解的不规范词语，那么人们不会推理，这有什么好惊奇的呢？如果我们会说各门学科的语言，那么全部科学就都属于精密的。

因此语言跟分析方法是一样的；只有分析方法本身是完善的，推理才是完善的；推理方法归结于极大程度的单一性，且仅仅可能是一种组织得很好的语言。这些结论已经被我们证实，且得到广泛的认可。

确切地说，代数仅仅是一种语言

我不会跟数学家说代数是一种语言。我说代数是语言，代数不可能是别的什么东西。你们看到，在我们刚才解答的那个问题中，代数是语言，我们用它来表达我们已经用词语形成的推理。然而，如果字母和词语表达相同的推理，那么显然，既然人们用词语仅仅是为了说一种语言，同样，人们用字母也仅仅是为了说一种语言。

人们对最复杂的问题作相同的观察，那是因为所有的代数解法给出的是一样的语言——推理，或者是用字母表达的具有连续同一性的判断。但是，因为代数是最有条理的语言，且因为代数使得推理展开，若用任何其他方法则行不通，人们误以为代数不是严格意义上的语言，代数仅仅是某个方面的语言，代数还可以代表别的什么。

代数实际上是一种分析方法，但是，如果所有的语言本身就是分析方法，那么代数也不失为一种语言方法。我要强调的是，情况确实是如此。代数给出了极为显而易见的证据，即科学进步仅仅取决于语言的进步，唯有组织得很好的语言才能够使得分析达到简明和精确的程度，且根据我们研究的种类被我们理解。

我以为，语言能够做到这样，那是因为无论在计算方法方面还是在推理方法方面，我们所做的事情归结为组合和分解，不应该认为计算和推理是两种不同的方法。