2.3 牛顿定律应用举例

作为牛顿力学的重要组成部分，牛顿定律在低速情况下问题的分析中起着重要的作用，日常实践和工程上经常会涉及应用牛顿定律来解决问题。本节将通过例题来讲述应用牛顿定律解题的方法。需要注意的是，牛顿三定律是一个整体，不能厚此薄彼，只注重应用牛顿第二定律，而把第一和第三定律忽略的思想是错误的。

通常的力学问题有两类：一类是已知物体的受力，通过物体受力分析物体的运动状态；另一类则是已知物体的运动状态，从而求得物体上所受的力。在不作特殊说明的情况下，物体所受的重力是必有的，而其他的力则需要根据具体问题具体分析。

运用牛顿定律解题的步骤一般是先确定研究对象，然后使用隔离体法分析该研究对象的受力，作出受力图，通过分析物体的运动情况，判断加速度，并建立合适的坐标系，根据牛顿第二定律求解，具体问题需要具体分析讨论。

【例2-1】　阿特伍德机[1]。

如图2-3所示，设有一质量可以忽略的滑轮，滑轮两侧通过轻绳分别悬挂着质量为m1和m2的重物A和B，已知m1>m2。现将把此滑轮系统悬挂于电梯天花板上，求：当电梯（1）匀速上升时，（2）以加速度a匀加速上升时，绳中的张力和两物体相对于电梯的加速度ar。

解：如图2-3（a）所示，取地面为参考系，使用隔离体法分别对A、B两物体分析受力，从图2-3（b）可以看出，此时两物体均受到两个力的作用，即受到向下的重力和向上的拉力。由于滑轮质量不计，故两物体所受到的向上的拉力应相等，等于轻绳的张力。

因物体只在竖直方向运动，故可建立坐标系Oy，取向上为正方向。

（1）当电梯匀速上升时，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到

T-m1g=-m1ar

T-m2g=m2ar

将上两式联立，可得两物体的加速度

以及轻绳的张力

（2）电梯以加速度a上升时，A对地的加速度为a-ar，B对地的加速度为a+ar。根据牛顿第二定律，对A和B分别得到

T-m1g=m1（a-ar）

T-m2g=m2（a+ar）

将上两式联立，可得

a=0时即为电梯匀速上升时的状态。

思考：若电梯匀加速下降时，上述问题的解又为何值？请读者自证。

【例2-2】　将质量为10kg的小球用轻绳挂在倾角α=30°的光滑斜面上，如图2-4（a）所示。

（1）当斜面以加速度g/3沿如图所示的方向运动时，求绳中的张力及小球对斜面的正压力。

（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零？

解：（1）取地面为参考系，对小球进行受力分析，如图2-4（b）所示，设小球质量是m，则小球受到自身重力mg、轻绳拉力T以及斜面支持力N的作用，斜面的支持力大小等于小球对斜面的正压力，根据牛顿第二定律，可得

水平方向

竖直方向

①、②两式联立，可得

T=mgsinα+macosα

即

代入数值，得

T=77.3 N

同理

N=mgcosα-masinα=68.4 N

（2）当对斜面的正压力N=0时，①、②两式可写成

Tcosα=ma

Tsinα-mg=0

将两式联立，可得

【例2-3】　试计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知某小球的质量为m，水对小球的浮力为B，水对小球的黏滞力为f=-Kv，式中K是和水的黏性、小球的半径有关的一个常量。

解：如图2-5所示，以小球为研究对象，分析受力。小球共受到3个力的作用，自身重力、水的浮力以及水对小球的黏滞力。这3个力均作用在竖直方向上，其中，重力的方向为竖直向下，其他两个力的方向为竖直向上。因此，可以以向下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程

mg-B-f=ma

小球的加速度

当t=0时，小球的初速为0，此时加速度为最大

当速度v逐渐增加时，其加速度逐渐减小，令

则运动方程变为

分离变量后积分，得

即

上式即为小球沉降速度v和时间t的关系式。可知，当t→∞时，v=vT，即物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度，它是物体沉降所能达到的最大速度，如图2-6所示。

而当t=m/K时，v=vT（1-e-1）=0.632vT。只要当t>>m/K时，我们就可以认为小球以极限速度匀速下沉。