1.4 应用举例

【数学模型1.1解答】

1. 案例分析：银行存款利息研究

要解决案例的问题，需要弄清楚什么是单利结算，什么是复利结算，怎么计算两种情况下的利息．为了弄清这些问题，我们咨询了在银行工作的小王，他帮我们找到了这些资料．

2. 知识

（1）单利率：存款到期后，利息=本金×年利率×年数．

（2）复利率：也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法．在利率相同时，复利率计算得到的利息比单利率计算得到的利息要多．

复利计算的特点是：把上期期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是：S=P（1+i）n．

例如，本金为100元，年利率或者年投资回报率为3%，投资年限为30年，那么，30年后所获得的本息收入按复利计算公式来计算就是：100×（1+3%）30．

复利现值：是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现在必须投入的本金．

例如，30年之后要筹措到300万元的养老金，假定平均的年回报率是3%，那么，现在必须投入的本金是3 000 000×1/（1+3%）30．

3. 举例

某顾客向银行存入本金100元，20年后他在银行的存款额是本金及利息之和．设银行规定年复利率为5％，根据下面不同的结算方式，顾客20年后最终存款也有所不同．

（1）采用单利计算利息；

（2）采用复利计算利息，每年结算一次；

（3）每月结算一次，每月的利率为r/12．

解　（1）p20=100+100×5%×20=200．

（2）每年结算一次时，第一年后顾客存款额为

p1=100+100×10%=100×（1+10%）=110，

第二年后顾客存款额为

p2=110+110×10%=100×（1+10%）2=121．

根据这种递推关系可知，第20年后顾客的存款额变为

p20=100×（1+10%）20．

（3）每月结算一次，每月的复利率为10%/12，共结算12×20次，故20年后顾客的存款额为

每月结算一次相当于一年结算12次，如果结算24次有什么样的情况发生呢？36次呢……，如表1-2所示．

爱因斯坦说过，复利是世界第八大奇迹．世界上最伟大的力量不是原子弹，而是复利！复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，用通俗的话说就是利滚利．

总结模型：

一般地，用p表示存入金额，r表示年利率，m表示结算周期，n表示储存年限，pn表示n年的本息总额，则得到

单利率计算公式：pn=p+p×r×n；

复利率计算公式：特别地，当m=1时，pn=p（1+r）n.

【数学模型1.2】纳税问题

根据中华人民共和国个人所得税法规定，个人工资、薪金所得应纳个人所得税．应纳税所得额的计算方法为：工资、薪金所得，以每月收入额减除费用2 000元后的余额，为应纳税所得额．最后列出下面的税率表（表1-3）．

要想知道某人应缴税金额，则需列出他应缴纳的税款与其工资、薪金所得之间的关系．设其月工资、薪金所得为x元，应缴纳的税款为y元，即列出y与x之间的关系式．

解　按税法规定，当x≤2 000时，不必纳税，所以y=0．

当2 000＜x≤2 500时，纳税部分是x－2 000，税率为5%，所以，y=（x－2 000）•0.05；

当2 500＜x≤4 000时，其中2 000元不纳税，500元应纳5%的税，即500×0.05=25（元），再多的部分，即x－2 500按10%纳税，所以，他应纳税款为y=25+（x－2 500）•0.1（元）；依次可列出下面的函数关系：