1.6 基尔霍夫定律

电路中各电流、电压遵循以下两种基本规律的约束。

（1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR），它仅与元件自身的性质有关，与元件在电路中连接方式无关。例如，电阻的电压与电流满足欧姆定律等。

（2）电路连接方式的约束。也称拓扑约束，它仅与元件在电路中连接方式有关，与元件性质无关。基尔霍夫定律是概括拓扑约束关系的基本定律。

基尔霍夫定律（Kirchhoff's Laws）[8]包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。它反映了电路中所有支路电压和电流所遵循的基本规律，是分析集总参数电路的根本依据。基尔霍夫定律与元件VCR构成了电路分析的基础。

为了讲述基尔霍夫定律，先介绍电路中的常见术语。

（1）支路（Branch）——电路中通过同一电流的分支，通常用b表示支路数。

一条支路可以是一个二端元件，亦可以由多个元件串联组成。图1-20所示的电路中有三条支路，b=3。

（2）节点（Node）——由三条或三条以上支路连接的点称为节点。通常用n表示节点数。图1-20所示电路中有a、b两个节点，n=2。

（3）回路（Loop）——沿不同支路构成的闭合路径称为回路，除起始节点和终止节点以外，该闭合路径所经过的节点应均为一次。通常用l表示回路数。如图1-20所示电路中有三个回路，分别由支路1和支路2构成、支路2和支路3构成、支路1和支路3构成。

（4）网孔（Mesh）——对平面电路，其内部不含任何支路的回路称网孔。通常用m表示网孔数。如图1-20所示电路中有两个网孔，分别由支路1和支路2构成、支路2和支路3构成。支路1和支路3构成的回路不是网孔。因此，网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。

1.6.1 基尔霍夫电流定律（KCL）

1. 基尔霍夫电流定律（KCL——Kirchhoff's Current Law）

“在集总电路中，任意时刻、任意节点处电流的代数和等于零。”其中，可以假定流入该节点的电流取正号，流出该节点的电流取负号，也可以做相反的假设。

∑i=0　（1-19）

应用该定律前，必须假定各支路电流的参考方向，各支路上电流的参考方向，如图1-21所示。

对节点①，假定流入该节点的电流取正号，流出该节点的电流取负号，应用∑i=0

i₂+i₄-i₅-i₇=0

上式也可写成

i₂+i₄=i₅+i₇

即，任意时刻流入节点①电流等于流出节点①电流。

推广，任意节点有

i_流入=i_流出　（1-20）

式（1-20）是KCL的另一种形式，它表明，“在集总电路中，任意时刻，流入任意节点的电流之和等于流出该节点电流之和”。KCL是描述电路中与节点相连的各支路电流间相互关系的定律。

例1-4　如图1-21所示，已知i₁=-3A，i₂=1A，i₆=-4A，i₅=-1A，求i₃、i₄、i₇、i₈。

解：对节点a有i₁= i₄+i₆代入数据

i₄= i₁-i₆=-3-（-4）=1（A）

对节点①有i₂+i₄=i₅+i₇

i₇=i₂+i₄-i₅=1+1-（-1）=3（A）

对节点②：i₆+i₇+i₈=0代入数据

i₈=-i₆-i₇=-（-4）-3=1（A）

对节点d有i₅=i₃+i₈代入数据

i₃=i₅-i₈=-1-1=-2（A）

解得i₃=-2A，它表明i₃的实际方向是流入节点d，大小为2A。

2. 推广的基尔霍夫电流定律

KCL也可被推广应用到电路中一个假设的闭合面S上，该S面又称为广义节点。

“在集总电路中，任意时刻，流入任意闭合面的电流之和等于流出该闭合面的电流之和”。

如图1-21所示，对广义节点即由虚线表示的闭合面S，应用KCL有

i₁+i₂= i₃

上式关系的成立，不难应用例1-4的结果得到证明。

所以，基尔霍夫定律不仅适用于节点，也适用于闭合面（广义节点）。

注意

（1）KCL的实质是电流的连续性，是电荷守恒的具体体现。在节点处电荷不会形成、消失或积累。

（2）KCL表示了电流的约束关系，与支路上接的是什么元件无关，并且与电路是线性还是非线性无关。

（3）KCL与电路中的其他公式一样，列写方程时，按照参考方向列写即可，一般不用考虑实际方向。

如图1-22所示，因为左、右两侧的回路均可看作一个广义的节点，流进（或流出）广义节点电流只有一个，因此i₁=0，A、B两点电位相等。

1.6.2 基尔霍夫电压定律（KVL）

1. 基尔霍夫电压定律（KVL——Kirchhoff's Voltage Law）

“在集总电路中，任意时刻，沿任意回路绕行一周，回路中各段电压的代数和等于零”。KVL是描述回路中各支路（或各元件）电压之间关系的定律。

沿任意回路绕行一周有

∑u=0　（1-21）

应用定律前，应先选定回路的绕行方向，并任意假定各支路电压的参考方向。

（1）标定各元件电压参考方向。一般地，在负载上，默认电压与电流成关联方向，可以只标出电流或电压一个方向即可。

（2）任选回路绕行方向，顺时针或逆时针。一般规定，与回路绕行方向一致的支路电压取正号，相反的取负号。即沿回路电位降（电压）取正，电位升是负，或反之。

图1-23所示为电路的一部分。

沿回路1绕行一周有　u₂-u₁+u₃=0

代入电阻的VCR，上述KVL方程也可表示为

-R₂i₂-R₁i₁+R₃i₃=0

图1-23中，R₁、R₃上电压与电流是关联方向，可以不用标出电压u₁和u₃的方向，而R₂上电压与电流是非关联方向，此时u₂=-R₂i₂即VCR方程加负号。

2. 推广的基尔霍夫电压定律

KVL也可被推广应用到开口电路或任一假想的回路，如图1-24所示。

“在集总电路中，任意时刻，开口电压U_ab等于从a到b各段电压的代数和”。

图1-24电路可列方程

U_ab=U₁+U₂+U_s

注意：

（1）KVL的实质是电位的单值性，是能量守恒的具体体现。

（2）KVL表示了电压的约束关系，与回路中各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。

（3）按KVL列方程时，是按电压参考方向列写，与电压实际方向无关。

例1-5　求图1-25所示电路中电流源的端电压u。

解法1　列出支路KVL方程（也可设想一回路，顺时针绕行一周）

u-1×3-4-5=0，解得u=12V

解法2　a、b间的电压（电位降）是5V，然后从a走到b所经过的每个器件上的电位降（电压）为正，电位升为负，因此

5=u-1×3-4，解得u=12V

说明：第一个方法只是为了应用基尔霍夫电压定律的回路，第二个方法应用更直观。