第17章 单代数扩域

人要是培养一个习惯是21天，但要让一个习惯作的很自然，一点都不勉强，却需要三个月。

虽然最近系统没有派任务给牧林做，但他依然会找一些书看和上网查查资料。

下午回到家后，像往常一样躺到床上看了会小说，等到下午三点多的时候他到华夏数学论坛逛了逛，随手解决几个数学问题。

每日数学论坛上都会有许多奇思妙想的数学问题，他每日都会解决几个，随手点开一个自己感兴趣的网页。

【证明：如果n阶行列式Δ的某一行(或列)的所有元素都是1，则Δ的所有元素的代数余子式和等于Δ。】

牧林想了片刻，开始输入解答答案。

【设Δ是n阶方阵A=(aij)的行列式，aij的代数余子式是Aij(a≤i，j≤n)。

按照代数余子式的定义和行列式展开公式，我们知道

……

由于专置后行列式的值保持不变，所以，若行列式Δ某一列所有元素都是1，专置后，就变成了某一行所有元素都是1的情况，这时Δ所有元素的代数余子式之和也必定等于Δ。】

一题解完后，又看向另一道题。

【设n阶方阵A=(aij)的元素aij都是变量x的可微函数，i≤i，j≤n。证明：d(detA)/dx=∑i≤i，j≤nAij，其中Aij是元素aij的代数余子式，1≤i，j≤n。】

“这么简单的题目都找人来问。”牧林道。

说完他就开始写。

【d/dt|a11(t)a12(t)...a1n(t0|a21(t)a22(t)...a2n(t)|an1(t)an2(t)...ann(t)|=d/dt(∑(i1，...，in)(-1)δ(i1，...，in)a1i1(t)...anin(t))……n∑j=1(∑i1，...，in(-1)δ(i1，...in)a1i1(t)...ajij'(t)...anin(t))】

许久之后，他无聊的放下手机。

“一个能打的都没有！”牧林无奈的道。

“叮！”这时，手机上传来声音，牧林拿过手机查看。

见到有人在论坛上@他。

由于这段时间他在论坛的代数板块上大杀四方，所以积累了许多的粉丝。

每当有高难度的代数题目，就会有人@他。

他打开看了一下。

【IMC放出一个题目，谁能解决奖金一万美元！】

“一万美元？”牧林惊呼道：“我这辈子我没见过一万美元是多少！”

说完他拍了自己一下，道：“我他妈都没见过美元，怎么可能见过一万美元。”

“冷静，一定要冷静，这钱我一定要赚到。”他暗暗为自己打气。

在这句话的下方有一个网页链接，点击进去后是IMC的官方网站。

在官方网站的最顶部有一个横幅，上面用红色粗体文字写出‘$10000 problem’这几个字。

点击横幅后跳出一个网页，显示着问题，在最下端显示着answer这个按钮。

【在域F有扩域E的前提下进行的，现在我们只是给一个域F，是不是F的单扩域存在？】

“单扩域？”牧林微微皱眉。

代数我们都知道，中学的时候就学了代数，但这只是非常基础、简单的代数。

现代代数研究的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等，所以代数就分为线性代数、群论、域论、环论、模论……

而单扩域和单代数有关！

单代数里面又有单代数扩张，又称为代数扩张。

代数扩张从上世纪20年代中期起，就成为现代代数的基本用语。

代数扩张，是指在抽象代数中，一个域扩张被称作代数扩张，当且仅当每个的元素都是在上代数的，即：满足一个系数布于的非零多项式。反之则称超越扩张。

设为任意的域扩张，可以看作是上的向量空间。

定义为其维度，称作这个扩张的次数。

有限次数的扩张（简称有限扩张）都是代数扩张；反之，给定一个代数扩张，则里的任一元素都落在一个有限子扩张内，因此一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限。

一组代数我们称为域，而单扩域的基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的更大的域。

“哎，不会啊！”牧林很苦恼，一万美元就在眼前，但这道题他毫无思路。

这题已经超出他的大脑极限了，不是他可以完成的。

急的他心中就好像猫抓一样。

“难怪是一万美元，连我都无法完成，其余人更不能完成了啊！”

由于这是IMC放出来的题目，IMC是致力于普及青少年数学教育的机构、团体和个人组成的合作性组织，所以解决这题的人必须是青少年，十八岁以下的人。

“怎么办呢？”牧林苦恼的思索。

这一万美金他真的是很想赚，这对于他家的情况有很大的帮助。

“哎！”他突然拍了一下脑门，道：“我怎么这么笨，有宝藏不知道用。”

说完他打开系统，点开个人信息。

【名字：牧林

智力：11

体质：10

速度：10

力量：12

积分：40

属性：0】

“系统，这道题你可以帮忙解决吗？”

【可以，10积分！】

“草，这么贵？”牧林惊讶的道，他这么久才赚了四十几分，这一道题就要花十积分。

【可以不用，买卖自由，童叟无欺！】

“你这是童叟无欺吗？你这里欺诈消费者。”

【随你便，就这个价，不还二价。】

“卧槽！”牧林气的要爆炸，但他再怎么生气，也拿系统没办法，谁让它不是人呢，自己摸都摸不到它。

“行，就这个价吧！”牧林无奈的道。

但想想其实也不错，毕竟积分他平时不用，现在拿它换十万美金也挺好的。

瞬间一股信息流向大脑冲来，熟悉的清凉感和微晕感传来，只是片刻间这股感觉消失，脑海中出现一些信息。

“原来是这样。”牧林查看过信息后恍然大悟道。

说完他点击answer！

瞬间跳出一个空白的输入框。

【这里横杠f(x)是f(x)所在的剩余类.由于F⊆F[x]，在这个同态满射之下，F与横杠F同构.这样，由于k’和F没有共同元，根据III，5，定理4.我们可以把K’的子集横杠F用F来调换，而得到一个域K，使得K≈K'，F⊆K

……

证完.】

在输入框的下面还有国家、姓名、年龄、电话、机构、身份证号、银行卡账号和邮箱的输入。

牧林填写国家为China、姓名Lin.Mu、年龄17、电话025-180********。

“机构？”牧林想了想，继续填写。

Savant High school.（舍瓦特高中）

身份证号3213****

银行卡账号458031*****

邮箱250*******

所有东西填完后，他又将自己写的内容检查三遍后点击提交。