§7.4 平面与平面的位置关系
7.4.1 平面与平面的位置关系
观察我们的教室，地面和侧墙面相交，而地面和顶面不相交.我们有类似的定义：
定义8 如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做互相平行.
由此可见，空间两个不重合的平面，位置关系有两种：
（1）两平面平行——没有公共点；
（2）两平面相交——有一条公共直线.
画两个互相平行的平面时，要使表示平面的两个平行四边形对应边互相平行[见图7-19（1）]；画两个相交平面时，要使表示两个相交平面的平行四边形有一条公共直线[见图7-19（2）].
图7-19
7.4.2 平面与平面平行
定理10 （平面与平面平行的判定定理）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.
推论5 如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面互相平行，见图7-20（1）所示
推论6 垂直于同一直线的两个平面互相平行，如图7-20（2）所示
【例1】 P是△ABC所在平面α外的一点，D、E和F分别是PA、PB和PC的中点，β是D、E和F所确定的平面，求证：α∥β.
图7-20
已知，如图7-21所示，D、E和F分别是PA、PB和PC的中点，△ABC和△DEF分别在平面α和β内.
图7-21
求证：α∥β.
证 连接DE、DF.因为D、E和F分别是PA、PB和PC的中点，所以
DE∥AB，DF∥AC，
又DE∩DF=D，AB∩AC=A，所以DE、DF所在的平面平行于AB、AC所在的平面，即α∥β.
定理11 （平面和平面平行的性质定理）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的交线也互相平行.
推论7 夹在两个平行平面之间的平行线段的长相等.
推论8 两个平行平面之间的垂直线段的长都相等.
定义9 夹在两个平行平面之间且和两个平面都垂直的线段的长，叫做两个平行平面之间的距离.
【例2】 如图7-22所示，已知α∥β，AC和BD是夹在α和β间的两条线段，AC=13cm，BD=15cm，AC和BD在平面β内的射影之比为5：9，求两平行平面之间的距离及两线段射影之长.
图7-22
解 过点A和B分别作平面的垂线AA′和BB′，A′和B′为垂足，连接A′C和B′D，则A′C和B′D分别是AC和BD在平面β内的射影.
在直角三角形AA′C和直角三角形BB′D中，
由已知，AC=13cm，BD=15cm，A′C：B′D=5：9，又AA′=BB′，所以
解之得B′D=9（cm），A′C=5（cm）.所以
即两平行平面间距离是12cm，两段射影的长分别是5cm和9cm.
7.4.3 二面角
1.二面角的概念
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面
定义10 由一条直线引出的两个半平面组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面.
如图7-23就是以EF为棱，α和β为面的二面角，记作“二面角α-EF-β”.
图7-23
2.二面角的平面角
定义11 在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线组成的角叫做二面角的平面角.
如图7-23所示，O是二面角α-EF-β的棱EF上任意一点，在面α、β内分别作OA⊥EF，OB⊥EF，则∠AOB就是二面角α-EF-β的平面角.
二面角的大小，可以用它的平面角来度量.二面角的平面角等于二面角度数
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的取值范围，一般规定为（0，π）.
【例3】 如图7-24所示，山坡倾斜度是60°，山坡上一条路CD和坡底线AB成30°角.沿这条路向上走100m，求升高了多少？
图7-24
解 因为CDG是坡面，设DH是地平面的垂线段，DH就是所求的高度，作HG⊥AB，垂足为G，那么DG⊥AB，∠DGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角，所以∠DGH=60°.
所以沿这条路向上走100m，升高约43.3m
7.4.4 平面和平面垂直
定义12 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面叫做互相垂直.
平面α和平面β垂直，记作α⊥β.
画两个互相垂直的平面，要把直立平面的竖边画成和水平平面的横边互相垂直（见图7-25）.
图7-25
定理12 （平面和平面垂直的判定定理）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
【例4】 如图7-26所示，P是矩形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD.试说明平面ABOD、PAD和PCD之间的关系.
解 因为PD⊥平面ABCD，又PD⊆平面PDC，PD⊆平面PDA.所以平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面ABCD.
因为AD⊥PD，AD⊥CD，又CD∩PD=D，所以平面PDA⊥平面PDC.
图7-26
因此平面ABCD、平面PDC和平面PDA两两互相垂直.
定理13 （两平面垂直的性质定理）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线，一定垂直于另一个平面.
如图7-27所示，α⊥β，EF为α、β的交线.如果在α内作AB⊥EF，那么AB⊥β.事实上，只要过B在平面β内作BC⊥EF，则∠ABC就是二面角α-EF-β的平面角.于是AB⊥BC.又AB⊥EF，故有AB⊥β.
【例5】 如图7-28所示，α⊥β，α∩β=AB，在平面β内，CD∥AB，CD到AB的距离为3.5cm，点E在平面α内，E至AB距离为12cm，求点E到CD距离.
图7-27
图7-28
解 在平面α内过E作EF⊥AB，F为垂足，因为α⊥β，所以EF⊥β.
在平面β内过F作FG⊥CD，G为垂足，连接EG，则EG⊥CD.在直角三角形EFG中，EF=12cm，FG=3.5cm，所以
即E至CD距离是12.5cm.
【例6】 如图7-29所示，已知α⊥β，AC⊥EF且AC⊆α，BD⊥EF且BD⊆β，AB和平面α、β分别是30°和45°角，AB=2a，求CD的长.
图7-29
解 连接AD、BC.因为α⊥β，α∩β=EF，AC⊥EF且AC⊆α，所以
AC⊥β
又BC⊆β
所以∠ACB=90°
因为∠ABC=45°
于是 
同理 
所以 
.
练习
判断题：
1.分别在两个平行平面内的直线互相平行. （ ）
2.如果一个平面内一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （ ）
3.如果一个平面内两条直线同时平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （ ）
4.如果一个平面内任何一条直线，都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （ ）
5.过平面外一点，作这个平面的平行平面，能且只能作一个. （ ）
6.过平面外一点，作这个平面的垂直平面，能且只能作一个. （ ）
7.平行于同一个平面的两个平面互相平行. （ ）
8.平行于同一条直线的两个平面互相平行. （ ）
9.垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （ ）
10.垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ ）
习题7-4
1.试画出下列图形：
（1）一个平面和两个相交平面都垂直；
（2）两个平行平面和两条异面直线都相交；
（3）两个平行平面和两条平行直线都相交；
（4）三个平面使它们两两垂直相交.
2.AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的相交线段，交点为S，AC在α内，且AS=3cm，BS=4cm，CS=5cm.求DS的长.
3.在30°的二面角的一个面内有一个已知点，该点到另一个面的距离是5cm.求这个点到棱的距离.
4.二面角的一个面内有一个已知点，该点到棱的距离是它到另一个面的距离的两倍，求这个二面角的度数.
5.把边长为a的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，求B和D之间的距离.
6.如第6题图所示，直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=4cm，∠ABC=30°，AD为BC上的高，沿AD把三角形折成直二面角.求折后B和C两点连线的长.
7.两个平面α、β垂直相交于EF，直线m、n分别在两个面内，且都平行于交线EF，m到EF距离为7cm，n到EF距离为24cm，求m、n之间的距离.
8.在两个互相垂直的平面α和β的交线上，有两个已知点A和B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，已知AC=6cm，AB=8cm，BD=24cm，求CD的长.
9.直二面角外一点到二面角的两个面的距离分别为a、b，求该点到二面角棱的距离.