命题I.31

通过直线外一点可以作一条直线的平行线。

设：A为给定的点，BC为给定的直线。

求作：通过点A作一条平行于BC的平行线。

在BC上任取一点D，连接AD；在直线AD上，通过A点作角，使∠DAΕ等于∠ADC（命题I.23）；令线段AF延长与ΕA相连。

因为：直线AD与直线BC、ΕF相交形成的内错角∠ΕAD、∠ADC彼此相等；

所以：ΕAF平行于BC（命题I.27）。所以：通过给定的点A，作出了一条线段ΕAF，平行于BC。

所以：通过直线外一点可以作一条直线的平行线。

证完

注解

所作的平行线ΕF是过A点的唯一平行线，如果还存在另外的平行线，那么一边上的内角或AD与BC构成的内角将小于两个直角，于是根据平行公设（I.5公设），它将与BC相交，这是矛盾的。

本命题高频率地出现在本卷从此命题开始的命题中，同时也高频率地出现在卷2、4、6、11、12、13中。