2.5 网孔电流法
网孔电流法也是着眼于减少方程个数的一种改进的分析方法。上一节所讲的节点电压自动满足KVL，仅应用KCL列方程就可求解电路。本节讨论的网孔电流法是自动满足KCL，仅应用KVL就可以求解电路的方法。该法简称为网孔法。
2.5.1 网孔方程及其一般形式
欲使方程数目减少必使求解的未知量数目减少。在一个平面电路里，因为网孔是由若干条支路构成的闭合回路，所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果设想在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，就把这一假想的电流称为网孔电流。
对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVL列出网孔电压方程式（网孔内电阻上电压通过欧姆定律换算为电阻乘电流表示），求解出网孔电流，进而求得各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称为网孔电流法。下面以图2-23所示电路为例来列出网孔的KVL方程，并从中总结出列写网孔KVL方程的简便方法，网孔分析法用图如图2-23所示。
图2-23 网孔分析法用图
本电路共有6条支路、4个节点，网孔电流如图所标分别为Im1、Im2、Im3，其参考方向即作为列写方程的绕行方向。按网孔列写KVL方程如下：
网孔1 R1Im1+R5（Im1-Im3）+R2（Im1-Im2）+US2-US1=0
网孔2 R2（-Im1+Im2）+R6（Im2-Im3）+R3Im2-US2=0
网孔3 R4Im3+R6（-Im2+Im3）+R5（-Im1+Im3）=0
为了便于解出方程（也可以参考相关书籍，应用克莱姆法则求解或在计算机上应用MATLAB工具软件求解，这里不赘述），上述3个方程，需要按未知量顺序排列并加以整理，同时将已知激励源也移到等式右端。这样上面3个方程整理为
解上述方程组即可得电流Im1、Im2、Im3，进而确定各支路电流或电压、功率。如果用网孔法分析电路，就都有如上的方程整理过程，比较麻烦。将式（2-10）归纳为
比较式（2-10）和式（2-11），不难发现：R11=R1+R2+R5，是网孔1的所有电阻之和，称为网孔1的自电阻。同理，R22=R2+R3+R6、R33=R4+R5+R6分别为网孔2和网孔3的自电阻，且自电阻恒为正。这是因为本网孔电流方向与网孔绕行方向一致，由本网孔电流在各电阻上产生的电压方向必然与网孔绕行方向一致；R12=R21为网孔1和网孔2之间的互电阻，且R12=R21=-R2为两网孔共有电阻的负值。在网孔法中，互电阻恒为负。这是由于规定各网孔电流均以顺时针为参考方向，所以另一网孔在共有电阻上产生的电压总是与本网孔绕行方向相反。同理，可解释R13=R31=-R5和R23=R32=-R6；式（2-11）中等式右端的US11、US22、US33分别为3个网孔的等效电压源的代数和，与网孔绕行方向相反的电压源为正，一致的为负，如US11=US1-US2，US1的方向与网孔1的绕行方向相反，而US2的方向与网孔1的绕行方向一致。可以推广到m个网孔的电路，有兴趣的读者可自行推导。
2.5.2 网孔法解题步骤
1. 解题步骤
从上节的内容可以归纳出网孔法的解题步骤如下。
1）选网孔为独立回路，标出顺时针的网孔电流方向和网孔序号。
2）若电路中存在实际电流源，则先将其等效变换为实际电压源后，用观察自电阻、互电阻的方法列出各网孔的KVL方程（以网孔电流为未知量）。
3）求解网孔电流。
4）由网孔电流求各支路电流。
5）由各支路电流及支路的伏安特性关系式求各支路电压。
【例2-13】 试用网孔电流法求解图2-24所示电路中的各支路电流。
图2-24 例2-13图
解：网孔序号及网孔绕行方向如图2-24所示，列写网孔方程
整理为
联立求解得
Im1=-1A
Im2=1A
Im3=1A
从而求得各支路电流为
I1=Im1=-1A
I2=Im2=1A
I3=Im3=1A
I4=-Im1+Im3=2A
I5=Im1-Im2=-2A
I6=-Im2+Im3=0A
2. 含理想电流源及受控源的情况分析
（1）含理想电流源的情况分析
理想电流源不能变换为电压源，而网孔方程的每一项均为电压。下面举例说明如何处理这类问题。
【例2-14】 用网孔法求图2-25所示电路的各支路电流。
图2-25 例2-14图
解：网孔序号及网孔电流参考方向如图中所选，题中有两个理想电流源，其中6A的理想电流源只流过一个网孔电流，则可知Im1=6A。这样就不必再列网孔1的KVL方程，而只需要列出网孔2和网孔3的KVL方程。为了列网孔2和网孔3的KVL方程，设2A电流源的电压为Ux（如图2-25所示），所得方程为
多了未知量UX，必须再增列一个方程，由2A理想电流源支路得到补充方程
Im2-Im3=2
将以上4式联立求解得
Im2=3.5A
Im3=1.5A
各支路电流均可用网孔电流求得
I1=Im1=6A
I2=Im2=3.5A
I3=Im3=1.5A
I4=Im1-Im2=2.5A
I5=Im1-Im3=4.5A
I6=Im2-Im3=2A
由本例可看出，当理想电流源所在支路只流过一个网孔电流时，该网孔电流被理想电流源限定；当理想电流源所在支路流过两个网孔电流时，可用增设理想电流源的电压为未知数的方法来处理。
（2）含受控源的情况分析
在列含受控源电路的网孔方程时，可先将受控源作为独立电源处理，然后将受控源的控制量用网孔电流表示，再将受控源作用反映在方程右端的项移到方程左边，以得到含受控源电路的网孔方程。下面以例2-15进行说明。
【例2-15】 用网孔法求图2-26所示电路的网孔电流，已知μ=1，α=1。
图2-26 例2-15图
解：标出网孔电流及序号，网孔1和2的KVL方程分别为
6Im1-2Im2-2Im3=16
-2Im1+6Im2-2Im3=-μU1
对网孔3，满足
Im3=αI3
补充两个受控源的控制量与网孔电流关系方程，即
U1=2Im1；I3=Im1-Im2
将μ=1、α=1代入，联立求解得Im1=4A，Im2=1A，Im3=3A。