3.3 几何造型方法

3.3.1 线框模型

线框模型（Wire Frame Modeling）是几何造型中最简单的一种模型 [图3.7（a）]，由物体上的点、直线和曲线组成。

线框模型数据结构的关键在于正确地描述每一线框的棱边，它在计算机内部是以点表和边表来表达和存储的。因此，每个线框模型的数据结构中都包含两个表：一张是顶点表（表3.1），描述每个顶点的编号和坐标；另一张是棱线表（表3.2），记录每一棱边起点和终点的编号。图3.8记录了线框模型的数据结构。

物体是边表和点表相应的三维映射，所以可以产生任意视图，且视图之间能够保持正确的投影关系，还可以生成任意视点或视向的透视图、轴测图。另外，线框模型还具有数据结构简单、运算速度快的特点。

但是线框模型也有一些缺点。因为最终模型是一个有很多连线的图像，因而可能很难看清楚，例如：①一些线条应该隐藏（也许位于物体的背面），但在线框模型中却是可见的，这样当对象形状复杂、棱线过多时，若显示所有棱线将会导致模型观察困难，引起理解错误。②对于某些线框模型，人们很难判断对象的真实形状，会产生歧义（“二义性”），即表示的图形有时含义不确切。例如，在一个立方体上如果存在有孔，则孔是盲孔还是通孔含义就不清楚。③线框模型不能进行物体几何特性（体积、面积、质量、惯性矩等）计算，不能满足表面特性的组合、存储及多坐标数控加工刀具轨迹的生成等方面的要求。另外，由于它仅仅给出了物体的框架结构，没有表面信息，故不能进行隐藏线、面的消除。

尽管线框模型缺少实体表现的优点，但仍然是很有用的。线框模型的软件内部关系简单，容易理解，因而适合于与用户有关的特殊用途。同样，这种表示法的计算机算法一般在线性代数、动力学和机器人课程中常见。

3.3.2 表面模型

表面模型（Surface Modeling）是以物体的各个表面为单位来表示其形体特征的[图3.7（b）]，能够精确地确定对象面上任意一点的坐标值。面的信息对于产品的设计和制造过程具有重要意义。物体的真实形状、物性（体积、质量等）、划分有限元网格、数控编程时刀具的轨迹坐标等都可由物体面的信息来确定。表面模型结构的产生，应该归功于航空和汽车制造业的需求，因为再用线段、圆弧这样简单的图形元素描述飞机、汽车的外形已经很不现实，必须用更先进的手段来描述。这就要求人们首先去研究曲线，于是Hermit Cubic Splines、Bezier Curves、B-spline Curve、Non-uniform Rational B-spline等曲线相继产生。这些曲线都是通过一个基底函数合成的，所以能随意构成任何造型的曲线，也能描述圆弧、椭圆、抛物线这些常用曲线。现在常用的曲线是Non-uniform Rational B-spline曲线，简称NURBS曲线，也叫作非均匀有理B样条曲线。NURBS曲线的建立必须有足够的控制点，通常NURBS的阶数越高，要求的控制点就越多。当然NURBS的阶数是根据系统精度的要求来决定的，相应的NURBS的阶数越高，系统的开销也就越大。在NURBS曲线的基础上可以建立NURBS曲面，现在很多曲面几何模型的基石是NURBS曲面，目前常用的大型三维CAD软件也纷纷提出基于NURBS曲面的造型系统等。

曲面模型的描述方式有两种：一种是以线框模型为基础构成的面模型；另一种是以曲线、曲面为基础构成的面模型。第一种方法是在线框模型的基础上增加有关面与边的拓扑信息，给出了顶点的几何信息及边与顶点、面与边之间的二层拓扑信息（表3.3、表3.4、表3.5）。其数据结构是在线框模型数据结构的基础上增加面的有关信息与连接指针，其中还有表面特征码。各条棱边除了给出连接指针外，还给出了方向及其他可见或不可见信息。该模型的数据结构如图3.9所示。与线框模型的数据结构相比，表面模型多了一个面表，记录了面和边之间的拓扑关系。

以线框模型为基础的面模型只适合于描述简单形体。对于由自由曲面组成的形体，若采用线框模型，则只能以小平面片逼近的方法近似地进行描述。因此，现代航空航天、电子、汽车以及模具等产品中需要精确描述的曲面，只能以第二种方法通过参数方程进行描述。

3.3.3 实体模型

实体模型（Solid Modeling）是指三维形体几何信息的计算机表示，如图3.7（c）所示。这种表示方法研究如何区分出三维形体的内部和外部，如何方便地定义形状简单的几何形体（即体素）以及如何经过适当的布尔集合运算构造出所需的复杂形体，并在图形设备上输出其各种视图。实体模型的数据结构较复杂，其与线框模型和表面模型的根本区别在于不仅记录了全部几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的拓扑信息。

三维实体模型是关于物体几何信息和拓扑信息的完整描述。实体模型的数学基础是拓扑学和集合论。一个有效实体（简称实体）应具有如下性质：

（1）刚性，即实体形状与位置及方向无关。

（2）有限性，即占有限空间。

（3）封闭性，即集合运算与刚体运动不改变有效实体的性质，其表面具有连通性、界性、非自交性、可定向性和闭合性等性质。

（4）边界确定性。

（5）维数一致性，即没有悬面和悬边。

实体模型在机械产品的设计与制造中得到了广泛应用，主要表现在四个方面：①设计中能随时显示零件形状，并能利用剖切来检查诸如壁的厚薄、孔是否相交等问题；能进行物体的物理特性计算（简称物性计算），如计算体积、面积、重心、惯性矩等；能检查装配中的干涉；能做运动机构的模拟；等等。这样就使设计者能及时发现问题，修改设计，提高设计质量。②产生二维工程图，包括零件图、装配图，还能进行工艺规程设计等。③制造中能利用生成的三维几何模型进行数控自动编程及刀具轨迹的仿真，还能进行工艺规程设计等。④在机器人及柔性制造中已利用三维几何模型进行装配规划、机器人视觉识别、机器人运动学及动力学的分析等。

随着CAD/CAM一体化技术的发展，传统的几何造型技术越来越显示出其不足，主要表现在三个方面：①数据库尚不完备，几何建模系统仅用来定义几何形体，而难以将有关零件的粗糙度、公差、材料等工艺信息同步地存入数据库；②在表达零件的数据结构的抽象层次上，只能支持低层次的几何、拓扑信息（如点、边、面或含有立体基和布尔算子的二叉树），而没有工程含义（如定位基准、公差、粗糙度等信息）; ③设计环境欠佳，在使用几何建模系统构造零件时，难以进行创造性设计，同时修改设计也不方便。

20世纪80年代以来，人们一直在研究更完整描述几何体的实体造型技术。这种技术对几何形体的定义不仅限于名义形状的描述，还应包括规定的公差、表面处理以及其他制造信息和类似的几何处理。这种包含制造信息的造型方法称为特征造型（Feature Modeling）。基于特征的造型技术，称为特征造型技术（Feature Technology, FT）。这种面向设计过程和制造过程的特征造型方法克服了几何造型的缺陷，是一种理想的产品模型。