4.4　平面与立体相交

平面与立体相交，可看作是立体被平面所截，该平面称为截平面，如图4-14所示，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为断面。截交线是截平面和立体表面的共有线。本节讨论在投影图中求作截交线的方法。

4.4.1　平面与平面立体相交

平面与平面立体相交所得的截交线为封闭的平面折线，其断面为平面多边形。如图4-14中，平面P截切三棱锥S-ABC，截交线为三角形ⅠⅡⅢ。截交线三角形的顶点为平面立体的棱线与截平面的交点，三角形的各边为平面立体的棱面与截平面的交线。因此，求平面立体截交线的方法可采用交点法或交线法。

交点法即为先求出立体上被截切到的棱线与截平面的交点， 然后将各交点依次连接，即求得截交线。

注意：连点时，只有位于立体同一棱面上的两点方可相连。

交线法即为直接求出立体上被截切到的各棱面与截平面的各段交线，求得截交线。截交线的可见部分用粗实线绘制，不可见部分用虚线绘制。

4.4.1.1　平面与棱柱相交

棱柱的表面投影有积聚性，求截交线时应充分利用这一特性。

【例4-7】　如图4-15，求四棱柱被正垂面P截切后的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-15中的正面投影可知，直立四棱柱的四个棱面及上顶面均被正垂面P所截，因此，截交线为五边形。可先求出被截到的三条棱线与P平面的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ（交点法），再求出上顶面与P平面的交线Ⅲ、Ⅳ（交线法），即可完成作图。

［作图步骤］

（1）求截交线各折点：利用已知标出各折点的正面投影1'、2'（5'）、3'（4'），利用棱线及棱面的水平积聚投影求出1～5各点，再依据“二补三”，求出1″～5″各点。

（2）连线并判别可见性：将位于同一棱面上两点的同面投影依次连接，得到截交线的H、W面投影，均为可见。

（3）整理形体各棱线（面）：将未被截切的棱线（面）绘制完整（可见线段为粗实线，不可见线段为虚线）。

实际上，一个几何形体通常不仅被一个截平面所截切，也可被多个平面所截切，从而产生切口， 如图4-14，这类形体被称为切割体。求作切割体投影图的关键是作出切口线的投影，而切口线主要就是各截平面与立体表面相交的截交线。另外，还要作出相交的各截平面之间的交线，最后，再整理形体各棱线（曲面体为轮廓线）的投影。

【例4-8】　如图4-16，求切口三棱柱的水平投影和侧面投影。

分析：从给出的正面投影可知，三棱柱的缺口是由两个正垂面P、Q和水平面R截切而成的，每个截平面都是与三棱柱前、后两个棱面相交，各有两段表面截交线。切口线的正面投影积聚在各截平面的正面积聚投影上，其侧面投影则积聚在三棱柱棱面的侧面积聚投影上，因此，该题需要求作的主要是水平投影。

［作图步骤］

（1）求切口的表面截交线。首先，在正面投影上标出切口线的各折点1'、2'（3'）、4'（5'）、6'。其次，在棱柱表面的侧面积聚投影上，对应找到各折点的侧面投影1″（6″）、2″ （4″）、3″（5″）。再依据“二补三”作图，求出各折点的水平投影1、2、3、4、5、6。最后，将1、2、4、6、5、3、1各点依次连线，即得棱柱前后两棱面上切口表面交线的水平投影，均为可见。

（2）求各截平面之间的内部交线。连接P、R面的交线ⅡⅢ，Q、R面的交线ⅣⅤ，其水平投影和侧面投影均不可见，且侧面投影重叠。

（3）整理形体各棱线。将立体切割后剩余的棱线画至截交线的各折点，即将三棱柱最高棱线的水平投影用粗实线画至点1、6。

4.4.1.2　平面与棱锥相交

【例4-9】　如图4-17，已知三棱锥被正垂面P所截，求其截交线和断面实形。

分析：由图4-17中正面投影可知，截平面P与三棱锥的三个棱面相交，截交线为三角形。可用交点法求出三条棱线与正垂面P的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后，再依次连成截交线。截交线的正面投影积聚在P平面上，只需求其水平投影和侧面投影。

［作图步骤］

（1）求截交线各折点。首先，利用P_V正面投影的积聚性标出三个折点的正面投影1'、2'、3'，再分别过其作投影到相应的棱线上。

注意：棱线为侧平线上的折点Ⅱ，应先求出点2″，再由点2'、2″，求出点2。

（2）连线并判别可见性。将位于同一棱面上的两折点依次连线，求得截交线的水平投影和侧面投影，均为可见。

（3）整理形体各棱线。将水平投影和侧面投影中未被截切的棱线用粗实线画至各折点。

（4）用换面法作出截断面的实形1₁-2₁-3₁-1₁，即△ⅠⅡⅢ（作图请读者自行思考）。

【例4-10】　如图4-18，绘制切口四棱台的水平投影和侧面投影。

分析：从已知的正面投影可知，四棱台下部的切口是由一个水平面P和两个侧平面Q、R截切而形成的。切口位于底部，前后、左右对称。水平切口线有四段，各与所在棱面的底边平行；侧平切口线前、后各有两段，分别与四棱台的前、后棱线平行。切口线的正面投影积聚在各截平面上，且前、后两部分投影重叠。作图时，应充分利用以上的平行关系。本题用交线法作图。

［作图步骤］

（1）求切口的表面截交线。首先，标出各折点的正面投影1'～10'。然后，将各截平面扩大（将截平面的积聚投影延长到与棱线相交），利用各自的平行关系，求其与四棱台的截交线（先作水平投影，再求侧面投影）。然后，从截交线上找到各折点相应的投影1～10和1″～10″，并依次连线，具体作图请参阅图4-18。

（2）求截平面之间的内部交线。连接P与Q面的交线ⅡⅦ，P与R面的交线ⅣⅨ，它们的水平投影和侧面投影均不可见，且侧面投影重叠。另外，截平面Q和R与棱台底面也有交线，即ⅠⅥ、ⅤⅩ，只是投影重叠，请读者自行分析。

（3）整理形体各棱线。将切割后剩余的棱线用粗实线画至各折点。

4.4.2　平面与曲面立体相交

平面与曲面立体相交所得截交线一般为平面曲线。截交线上的每一点均为截平面和曲面体表面的共有点。因此，只要求作足够的共有点，依次连成光滑曲线，即求得截交线。这里需要注意：求共有点时，应先求出各特殊点，即位于曲面体投影轮廓线上的点、截平面之间交线上的点、椭圆曲线长、短轴的端点等，然后，再均匀地求作一对或两对一般点。求共有点的基本方法有素线法、纬圆法和辅助平面法。

4.4.2.1　平面与圆柱相交

根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，圆柱的截交线具有矩形、圆和椭圆三种形状，如表4-1所示。

【例4-11】　如图4-19，求圆柱被正垂面P所截后的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-19中正面投影可知，截平面P与圆柱轴线倾斜，截交线应为一个椭圆。椭圆的正面投影积聚在P_V上，水平投影则积聚在圆柱面的水平投影轮廓圆上，只需求其侧面投影。侧面投影为不反映实形的椭圆，作图时，可求作曲线上八个点的投影，依次连接成光滑曲线即可。根据图4-19中P平面的位置可观察到：正平线Ⅰ、Ⅱ为投影椭圆的短轴，正垂线Ⅲ、Ⅳ为投影椭圆的长轴，Ⅰ～Ⅳ点为特殊点，Ⅴ～Ⅷ点为一般点。

［作图步骤］

（1）在椭圆曲线的正面积聚投影上，标出其长、短轴端点的投影1'、2'、3'（4'），再均匀、对称地选取两对一般点5'（6'）和7'（8'）。

（2）利用圆柱体表面上定点的方法，先求作各点的水平投影，再依据“二补三”求出其侧面投影。

（3）将各点依次光滑连接，并整理轮廓线，即求得被切割圆柱的侧面投影。

【例4-12】　如图4-20，求圆柱切割体的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-20中正面投影可知，圆柱的切口是由一个侧平面P、一个水平面R和一个正垂面Q切割而成的。切口线是由一段圆弧、两段直线和一段椭圆曲线组成，其正面投影分别积聚在P_V、Q_V和R_V上，侧面投影左侧圆弧和右侧椭圆曲线投影重叠积聚在圆柱侧面投影轮廓圆上，两段直线为侧垂线，其也积聚在圆柱侧面投影轮廓圆上。可利用圆柱面上定点、定线的方法，求作其水平投影。

作图时，需要特别注意：由于题中已知的正垂面Q_V与圆柱的轴线倾斜45°角，此时求得的截交线为椭圆，其长、短轴，其水平投影长度相等，均等于该圆柱的直径，也就是说此椭圆的水平投影为圆（圆心在轴线上，半径为该圆柱的半径），作图时必须用圆规绘制（作图步骤略）。

4.4.2.2　平面与圆锥相交

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥上的截交线具有直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线五种形状，如表4-2所示。

求作圆锥上截交线的投影，需利用圆锥面上定点作图，即利用素线法或纬圆法求作截交线上若干个点的投影后，依次连线，并判别可见性，最后，整理轮廓线。

分析：由图4-21中正面投影可知，截平面P与圆锥的所有素线都相交，截交线为椭圆。椭圆的正面投影积聚在P_V上，为一段直线，水平投影和侧面投影仍为椭圆，但不反映实形，需要求作各点，并连线。

［作图步骤］

（1）在正面积聚投影上，标出特殊点：1'、2'、3'、（4'）为长、短轴的端点［点3'、（4'）位于1'、2'连线的中点］；5'（6'）为圆锥侧面投影轮廓线上的点。再求作两个一般点7'（8'），作图如图4-21所示，该法为“纬圆法”。

（2）求作各点的水平投影和侧面投影。

（3）将各点的同面投影依次连成光滑曲线，均为可见，最后整理轮廓线。

【例4-13】　如图4-22，完成圆锥切割体的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-22中正面投影可知，圆锥是被一个水平面P（⊥轴线）和一个侧平面Q（∥轴线）所切割。切口处截交线由一段圆弧和一段双曲线组成，其正面投影分别积聚在P_V和Q_V上。圆弧曲线的水平投影反映实形、侧面投影积聚为直线；双曲线的侧面投影反映实形、水平投影积聚为直线。作图时，利用“纬圆法”在锥面上定点、定线，即可完成该切割体的水平投影和侧面投影。

［作图步骤］

（1）求作截交线。截平面P所截纬圆的水平投影为大半圆，其半径在截平面上从轴线量至点2'，再依据“二补三”求其侧面投影；截平面Q所截双曲线的水平投影（积聚为直线段），根据其正面积聚投影求作一般点4'（5'），依据“二补三”锥面上定点求得点4'、5'及各点，并依次连成光滑曲线即为双曲线的侧面投影。

（2）求截平面之间的交线。P与Q面的交线为ⅠⅢ，其水平投影与双曲线的水平投影重叠，侧面投影与圆弧的侧面投影重叠。

（3）整理形体的轮廓线。水平投影中锥底轮廓圆是完整的，侧面投影中圆锥的前、后轮廓线从底面到水平圆弧截交线为止。

4.4.2.3　平面与圆球相交

无论截平面与球的相对位置如何，平面与球面相交所得截交线只有圆一种形状。

当截平面与投影面平行时，截交线圆在该投影面上的投影反映实形，其他两面投影积聚为直线段，线段长度等于截交线圆的直径。

当截平面与投影面倾斜时，截交线圆在该投影面上的投影为椭圆。作图时，只能利用“纬圆法”在球面上定点，求作椭圆上若干个点的投影，依次光滑连接即可。

【例4-14】　如图4-23，求作球面被正垂面P截切后的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-23中正面投影图可知，截平面P_V为正垂面，它与球面相交所截交线圆的正面投影积聚在P_V上，该积聚投影与球的正面投影轮廓线的交点1'、2'连线长等于截交线圆的直径；截交线圆的水平投影和侧面投影均为椭圆。作图时，可在其正面积聚投影上标出所有特殊点和两个一般点，用球面上定点的方法（即“纬圆法”），求作各点的水平投影和侧面投影，再将它们的同面投影依次连成椭圆曲线。

［作图步骤］

（1）在截交线圆的正面积聚投影上标出特殊点1'、2'、3'、（4'）（长、短轴的端点）、5'（6'）（侧面投影轮廓线的点）以及一般点7'（8'）。

（2）依据特殊点1'、2'求作点1、2在横向中心线上，点1″、2″在竖向中心线上；而点3、4和点3″、4″需用“纬圆法”求作；点5″、6″在侧面投影轮廓圆上，5、6在竖向中心线上，点7、8和点7″、8″的作图与求作点3、4的方法相同。

（3）将所求的各点的同面投影依次连成椭圆曲线，即求得截交线圆的水平投影和侧面投影。

（4）整理形体的轮廓线：球的水平投影轮廓圆未被切割，应绘制完整的粗实线圆；侧面投影轮廓圆绘制到点5″、6″。

【例4-15】　如图4-24，求作半球切割体的水平投影和侧面投影。

分析：由图4-24中正面投影图可知，半球切口由一个侧平面P、一个水平面Q和一个正垂面R切割而成。左侧截交线为一段侧平圆弧，其侧面投影为实形，水平投影积聚为直线段；水平截交线为前、后对称的两段水平圆弧，其水平投影为实形，侧面投影积聚为直线段；右侧截交线为一段正垂圆弧，其水平投影和侧面投影均为椭圆曲线。各段截交线的正面投影分别积聚在P_V、Q_V和R_V上。另外，截平面P面与Q面、Q面与R面之间的两条交线，均为直线，其水平投影可见，为粗实线；侧面投影重叠且不可见，为虚线。

作图时，对于水平圆弧和侧平圆弧反映实形的投影，要注意其圆心（球心）和半径大小的确定，并用圆规直接绘制。对于正垂圆弧，可先在正面积聚投影上标出特殊点（Ⅰ～V）和一对一般点（Ⅵ、Ⅶ），用“纬圆法”求其各点，再连线，即可求得其水平投影和侧面投影。最后，作出切口的内部交线，注意可见性，并整理半球的投影轮廓线。

具体作图步骤请读者结合图4-24自行分析。