4.2　平面立体的投影及其表面的点

在平面立体的范畴里的几何体主要有两类：棱柱、棱锥（台）。

在投影图中，如果已知立体表面上某点的单面投影，则依据该点所在的位置可以求作其另两面投影，这就是立体表面上的定点问题。作图时，应注意判别所求点的投影的可见性。判别方法为：位于立体可见表面上的点为可见点，位于立体不可见表面上的点为不可见点，不可见点的投影符号需加括号来表示。当点位于立体表面棱线与棱线的交点（即顶点或角点）时，只要从投影方向观察无其他点遮挡，均为可见。也就是说，只能是点或面遮挡另一个点，而不可能是角或棱线遮挡点。

这一章学习、分析时所有的立体均按实心体看待，点的问题按外表面上的点考虑。

4.2.1　棱柱及其表面的点

棱柱由棱面和端面组成，其表面的棱线必有一组相互平行。

4.2.1.1　投影

图4-2（a）为正六棱柱，其上、下底面是水平面，为正六边形。图4-2（b）为该六棱柱的三面投影图。上、下底面的水平投影反映实形，其正面、侧面投影均积聚为水平直线段。六个棱面均垂直于水平投影面，所以，其水平投影积聚成六边形的六条边。六个棱面中，前后两个棱面为正平面，其正面投影反映实形，侧面投影积聚成线段。另外四个棱面均为铅垂面，其正面、侧面投影均为类似形。

4.2.1.2　表面定点

棱柱体表面上定点，可以利用其表面投影的积聚性进行作图求得。

【例4-1】　如图4-3（a），已知五棱柱表面上点Ⅰ、点Ⅱ、点Ⅲ的正面投影1'、（2'）、（3'），求作各点的另两面投影。

［作图步骤］

（1）由已知条件可知：点Ⅰ在五棱柱的右、前方棱面CDD₁C₁上，可利用该棱面在水平投影的积聚投影求作点Ⅰ的水平投影1，再依据“二补三”求作其侧面投影（1″），该点为不可见。

（2）点Ⅱ在五棱柱最后的棱面AEE₁A₁上，该棱面为正平面，可利用其水平投影、侧面投影的积聚性，直接求得点Ⅱ的水平投影2和侧面投影2″ 。

（3）点Ⅲ在EE₁棱线上，可利用直线上定点的规律，在e（e₁）上求得点3，在（e″）（e₁″）上求得点3″。

需要指明：图4-3（b）中的点2、2″，由于其正上方、正左方无任何点，所以视为可见的点，点3、3″同理。

4.2.2　棱锥及其表面的点

棱锥由几个棱面和一个底面所组成，棱面上各条棱线交于一点，称为锥顶。

4.2.2.1　投影

图4-4（a）为三棱锥，其底面为水平面，三个棱面均为一般位置平面。图4-4（b）为该三棱锥的三面投影图。三棱锥底面△ABC的水平投影反映实形，另两面投影积聚为线段。除底面为特殊位置平面外，其余的三个棱面均为一般位置平面，其三面投影均为三角形，且不反映实形。

根据图示位置，三棱锥的右侧棱线SC的侧面投影为不可见，故s″ c″绘制为虚线。

4.2.2.2　表面定点

对于棱锥表面上定点的问题，可这样分别作图：当棱锥表面的投影具有积聚性时，可利用其积聚投影定点；当棱锥表面的投影无积聚性时，则在棱锥表面上通过已知点的投影作辅助线，然后利用辅助线的投影求作点的未知投影，其实质与一般位置平面上定点的作图方法相同，最后要注意判别其各点投影的可见性。

【例4-2】　如图4-5（a），已知五棱锥表面上点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的一面投影1'、（2'）、3，求作各点的另两面投影。

［作图步骤］

（1）由已知条件可知：点Ⅰ在左前侧面△SBC上，该表面为一般面，需要作辅助线才能求出点1和1″。如图4-5（b），过点1'作辅助线m'n'∥b'c'，依此向下引投影连线交sb于m，过m作mn∥bc，再由点1' 向下引投影连线交mn于点1，再依据“二补三”求得点1″。

在此需强调：不要在了解已知图时误认为点Ⅰ在五棱锥的左、后棱上。因为，如果该点在此棱线上，则点Ⅰ的已知投影1'就应该不可见。

（2）点Ⅱ在后侧面△SAE上，该表面为侧垂面，可利用其侧面投影的积聚性先求点2″，再依据“二补三”求点2。

（3）点Ⅲ在底边AB上，可利用直线上定点，在a'b'上确定点3'，在a″b″上确定点3″。

【例4-3】　如图4-6（a），已知四棱台的正面和水平面投影以及表面上点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的一面投影（1'）、2、3，求作四棱台的侧面投影及各点的另两面投影。

［作图步骤］

（1）由已知可知：点Ⅰ在四棱柱的后侧面，因为其正面投影不可见，所以，可利用四棱柱后侧面为侧垂面的特性，先求其点Ⅰ的侧面投影1″，再根据“宽相等”，量取y₀ 定位点1；或过点的正面投影作平行四棱台底边的辅助线，交于四棱台左侧棱线予一点，过此点向水平投影作垂线，交其左、后斜棱一点，过该点再作底边的平行线，求其辅助线的水平投影，点1即定位在这条辅助线上，量取y₀ 定位点1″。

（2）点Ⅱ在四棱台的顶面上，该表面为水平面，其正面投影和侧面投影均为积聚线，则由已知点2向该水平面的正面投影作垂线的点2'，再依据宽y₁量取后定位点2″。

（3）点Ⅲ在四棱台的右侧面上，该平面为正垂面，可由已知点3向其正面投影的积聚线作垂线定位点3'，再量取对应的宽y₂确定点3″。