3.2　R/S分析与长期持续性

Hurst效应实质上说明了时间序列中，变量内在的相关性存在长期持续的行为。Hurst提出了一个新的统计量H来识别这一系统性的非随机特征，即Hurst指数。这个指数和系统的分形维完全相关。这种统计方法应用范围很广，而且没有什么基本假设。如果时间序列存在非周期循环，使用R/S分析可以找出平均的非周期循环和由于长期记忆效应产生的持久性。传统的统计分析研究方法在研究各种自然现象抽象出的时间序列时，通常都忽略事件之间的长程相关性，认为事件只在短程范围内具有“记忆性”，而R/S经验关系式的存在却说明事件的发生具有长程相关性，后面事件的发生将受到前面事件的影响。它改变研究的时间尺度大小，研究其统计特性变化的规律，分析时间序列的长程相关性。这样，人们就根据整体和部分之间规律的相似性，将小时间尺度范围得到的规律应用于大的时间尺度范围，或将大时间尺度范围得到的规律应用于小的时间尺度范围，从而也可以用于预测性的研究。

R/S方法的具体算法为^{［22，26～28］}：

首先将研究的时间序列{x_i，i=1，2，…，M}分为A个不重叠的、连续的子序列I_a（a=1，2，…，A），并计算每个子序列的平均值为：

　　（3-1）

式中　e_a——每个子序列的平均值；

x_k，a——子序列I_a中的每个数据；

a——所划分的某个子序列的编号，其取值为（a=1，2，…，A）；

t——每个子序列的长度，其取值为（2≤t≤M/2）；

M——整个研究序列的总长度；

k——某个子序列中所含数据的编号，其取值为（k=1，2，…，t）。

从而得到各子序列的累积离差：

　　（3-2）

式中　y_k，a——研究序列中各子序列的累积离差。

进一步，通过累积离差的最大值和最小值之差，计算出极差：

　　（3-3）

式中　R_a——研究序列的极差。

其中，极差R依赖于时间序列的长度t，并随t的增加而增加。为了研究数据中的统计规律性，Hurst使用了一个无量纲的参数R/S，其中S表达式为：

　　（3-4）

式中　S——研究序列的标准偏差。

当时间尺度t发生改变时，R/S也会随之而改变。Hurst发现对于许多自然界的时间序列，如河湖水位、降雨量、温度、气压、树木年轮、径流量等，R/S都满足下列关系：

　　（3-5）

式中　H——Hurst指数，一般处于0～1之间；

b——拟合参数。

如Hurst对尼罗河进行长期的水文观测，发现尼罗河流量的Hurst指数是0.72，具有正的长时间相关效应。通过数值试验，利用计算机产生随机时间序列，计算它的Hurst指数，其值接近0.5。如果把原始尼罗河流量时间序列随机打乱，再进行R/S分析，得到的Hurst指数指数值也接近0.5。这说明没有时间相关性的随机时间序列的Hurst指数为0.5，R/S分析是分析时间序列长期相关性的有效方法。

总体来说，当H＞0.5时，数据之间满足正相关性或长期持续性，即过去一段时间的增长（减少）趋势将意味着未来相同时间间隔内有一个增长（减少）趋势，H值越接近1，持续性就越强；H=0.5表示研究的时间序列是白噪声序列，即序列中各个数据都是独立的，互不关联的，完全随机的，前一段时间的变化趋势不会对后面产生影响；H＜0.5表明数据之间满足负相关性或反持续性，即过去增长（减小）趋势将意味着未来的减小（增长）趋势，H越接近0，反持续性就越强。