3.2.2 唯象理论模型
（1） Mooney-Rivlin应变能函数
通过观察橡胶材料在小变形条件下的简单剪切实验，Mooney发现其力学响应符合线性关系，因此建立基于I1、I2的W：
（3.9）
式中，C10与C01为材料参数。
Rivlin等[52]对其进行了发展，认为橡胶材料拉压同性，因此将式（3.9）变为基于I1、I2的高阶多项式的形式，即：
（3.10）
式中，Cij为材料参数，并赋值C00=0。
式（3.10）中，在材料变形不大并取值i=1，j=0及i=0，j=1时，式（3.10）即可转变为式（3.9）。Mooney-Rivlin应变能函数被广泛地应用于中等变形条件下。
（2）Neo-Hookean应变能函数
Neo-Hookean应变能函数是形式最简单的橡胶应变能函数，仅具有一个材料参数C10，其函数形式如下：
（3.11）
对比式（3.10）与式（3.11）可知，式（3.10）取一项（i=1，j=0）时，Mooney- Rivlin应变能函数即可转变为Neo-Hookean应变能函数。
当变形不大时，应用分子统计理论可得到橡胶材料的应变能函数：
（3.12）
式中，n是分子链的链密度；k是Boltzmann常数；T是热力学温度。
对比式（3.11）与式（3.12）可知，虽然唯象理论与统计理论的机理不同，但式（3.11）与式（3.12）却表现出高度的相似性，可见Neo-Hookean应变能函数的准确性及重要性。Neo-Hookean应变能函数适用于小应变条件。
（3） Yeoh应变能函数
Yeoh通过对Mooney-Rivlin应变能函数的研究，发现其对于表征橡胶材料在大应变时的“硬化”现象存在缺陷；另外在此模型中，
在大变形时要远大于
，且
随着变形的增大而逐渐趋近于零[42,53]。基于以上两点，Yeoh提出仅基于I1的三阶多项式应变能函数：
（3.13）
式中，Ci0为材料参数。
与Neo-Hookean应变能函数及Mooney-Rivlin应变能函数相比，Yeoh应变能函数能够表征橡胶材料在大应变时的“硬化”现象，同时Yeoh应变能函数具有更大的应变适用范围。
（4）Gent应变能函数
不同于Mooney-Rivlin应变能函数以及Yeoh应变能函数，Gent应变能函数[54]引入了分子链极限拉伸比的概念，即引入I1的最大值Im，并将W以自然对数的形式加以描述。函数关系如下：
（3.14）
式中，E、Im为材料参数。
当Im趋于无穷时，式（3.14）可等价为式（3.11），即Neo-Hookean应变能函数。Gent应变能函数表达形式较为简单，但不适用于小变形条件。
（5）Yeoh-Fleming应变能函数
Yeoh与Fleming[55]对四种不同橡胶材料进行拉伸测试，发现在大应变条件下，减缩的Mooney应力趋近于常值而与I1无关。故对Gent应变能函数进行了改进，得到Yeoh-Fleming应变能函数：
（3.15）
式中，A、B、C10、Im均为材料参数。
（6）Ogden应变能函数
基于I1、I2所描述的应变能函数需要复杂的数学计算，因此Ogden提出一种直接使用拉伸比的多项式函数关系：
（3.16）
式中，μi及αi均为材料参数。
此外，Rivlin与Sawyers[56]及Treloar[57]均指出，Ogden应变能函数为Mooney-Rivlin应变能函数的特殊等效形式。当i取值1和2、αi取值2和–2时，Ogden应变能函数可化为下式：
（3.17）
Ogden应变能函数适用的应变范围较宽，3阶的Ogden应变能函数就可较好地模拟不同拉伸状态下的应力-应变行为。
（7）Valanis-Landel应变能函数
鉴于λ表示的应变能函数可直接利用实验数据的优点，Valanis-Landel提出一种不可压缩材料应变能函数的分离对称式：
（3.18）
应变能函数W的确定受到ω(λi)的限制，对此Valanis-Landel提出了如下的关系：
（3.19）
基于实验，Valanis-Landel进一步给出如下关系：
（3.20）
该应变能函数适用于中等应变条件。
（8）Peng-Landel应变能函数
Peng与Landel[58]在Valanis-Landel应变能函数的基础上，提出了Peng-Landel应变能截断函数：
（3.21）
与已发表的双轴实验数据相比，Peng-Landel应变能函数的有效适用范围为1<λ<2.5。
（9）混合型应变能函数
考虑到大多数应变能函数不能同时适用于小变形与大变形条件或者仅适用于单一的变形状态，因此混合型应变能函数便成了一种不错的选择。混合型应变能函数既能够保证模拟的精度，同时又能兼顾两种应变能函数各自的特点。Beda及Chevalier[45]综合考虑了Gent应变能函数和Ogden应变能函数的特点，以Gent应变能函数描述小应变状态、以Ogden应变能函数描述大应变状态，得到了Gent + Ogden应变能函数：
（3.22）
式中，α为大于2的实数。该混合应变能函数能够适用于较大的应变范围。