第二封信 别担心数学

我想快点切入正题，不过在开始讨论这一切之前，还剩下一个大问题：数学。它是你投身科学生涯的重要资产，也是一项潜在障碍。在许多想成为科学家的人眼中，数学是一头难以驾驭的巨兽。我提起这一点，不是想让你更加心烦意乱，而是要鼓励和帮助你。我这封信是想让你不再担心数学。如果你已经具备基本的数学能力，比方说你已经修完微积分和解析几何，碰巧又喜欢解决难题，并且认为对数是表现超大数字的简洁方式，那么你相当不赖，我不必太为你担心，至少不必马上为你担心。但是请记住，高超的数学能力并不是——真的不是——让你在科学上有所成就的保证。稍后我会再解释这一点，所以请把它放在心里；事实上，我想要提醒那些数学爱好者的事情反而更多。

而如果你的数学能力不足，甚至不太灵光，也无须过于忧虑，你在科学家这个群体里绝不孤独。让我告诉你一个科学界的秘密，相信你听了以后一定会信心倍增：今日世界上许多成功的科学家，都可说是半个数学白痴。这样讲似乎有点前后矛盾，让我用个比喻来进一步澄清。杰出的数学家通常在拓展科学疆界时扮演理论的建筑设计师角色，其余大多数基础研究者和应用科学家负责绘制地形图、侦察边境、开辟道路，并在这条通往边疆的新路上盖起第一座建筑物。这些科学家负责提出问题——有些是数学家可以帮忙解决的——但他们主要是以图像和事实来思考，只是稍微触及数学而已。

你可能觉得我这样讲太过鲁莽草率，但我跟有志成为科学家的年轻人交谈时，总是以此来帮助他们摆脱数学焦虑症。在哈佛讲授生物学几十年下来，我经常看到优秀的学生因为担心数学而拒绝以科学为志向，甚至根本不碰非必修的科学课程。为什么我会关心这件事？因为数学焦虑症不仅害科学界痛失难以估量的人才，也让许多学科失去有创意的年轻人，这种人才缺失问题必须解决。

现在，让我来告诉你如何纾解数学焦虑症。要知道，数学是一种语言，就像我们日常生活所用的语言一样，自有一套文法和逻辑系统。任何具备一般智商，并且学过初级数学的人，在解读数学语言时，都不会遇到什么困难。

在此，我想用人口遗传学和人口生态学为例（它们是生物学中相对前沿的学科），说明视觉图像和简单数学叙述之间的关联。

想想这个有趣的事实。你有一父一母，祖父母加上外祖父母是4位，曾祖父母那一辈一共有8位，高祖父母那一辈则有16位。换句话说，既然每个人都是由一父一母所生，你的直系血亲每往前推一代就增加一倍。用数学来表示就是N=2^X。在这个数学式中，参数N代表一个人的祖先数量，而x则是回推的世代层数。那么，十代以前你有几个祖先呢？我们不必逐代写出来，可以直接用数学式来表示：N=2^X=2¹⁰；或是这样表示：2¹⁰=N。因此，当x=10，你的祖先N=1024位。现在，将时间轴倒过来，想想从现在开始往未来推算十代，你可望有多少后代？在估算后代时，整件事会变得复杂一点，因为我们不知道自己究竟会有多少后代，不过为了说明基本思路，我们可以仿效数学家通常采用的做法，加上限定条件，假设每对夫妇会有两个孩子存活下来，而且每代人相隔的时间保持不变。（平均生两个孩子与今日美国的实际状况相去不远，而且也很接近2.1这个数字，这是维持本地人口规模的最低生育率。）那么，在十个世代后，你将会有1024个子孙。

为什么要算这个？因为它可以让我们粗略了解每个人的基因来源和后续状况。事实上，有性生殖会拆散每个人特有的基因组合，将其中一半和别人的基因重组，创造出下一代的基因组合。过不了几代，任意亲代的基因组合就会被稀释进整个族群的基因库中。假设你有一位杰出的祖先曾经在美国独立战争中奋勇作战，你还有大约250个直系祖先跟他活在同一个时代，当中可能有一两个是偷马贼（我的8个高祖父中，有一个是南北战争时期的南方军的退伍军人，他就是个恶名昭彰的马贩，不比偷马贼好到哪里去）。

数学家喜欢测量指数增长，从单纯计算两代人之间的人口增幅到一个时间段内人口增长的普遍状况（可以是小时、分钟甚至更短的时间单位），这是利用微积分推导出来的，以dN/dt=rN来表示族群的增长率。在这个方程式里，dt表示任何一个短暂的时间间隔，dN表示此期间的族群增长数量，dN/dt的微分计算结果就是族群增长率。在指数增长的情况下，族群个体的即时数量N要乘以常数r，这个常数的大小取决于族群特性和其生存环境的条件。

你可以随便挑选一个你感兴趣的N和r，然后以这两个参数进行计算，时间多长都可以。如果微分的dN/dt大于零，而且假设这个族群（不管是细菌、老鼠还是人类）能够无限制地以相同的速率增长，你会很惊讶地发现，要不了几年，这个族群的重量将会超过地球，甚至超过整个太阳系或整个目前已知宇宙的总和。

在数学上看似正确的理论，有时候会导向空想式的结论，但也有不少模型是与现实吻合的，可以传达正确的意义，促使我们改用很不一样的方式去思考。有个相当知名的例子，便是由我刚才所描述的那种指数增长关系中推导出来的：假设在一个池塘中种了一株睡莲，隔天增生成两株，这两株每过一天又各自增生一倍，这样过了30天，池塘就会填满，没有空间可以再让睡莲继续增加；那么，池塘会在何时处于半满的状态呢？答案是第29天。这是靠常识就可以想到的初级数学，经常用来凸显族群增长过快的风险。过去两个世纪以来，全球人口每隔几个世代就增加一倍。大多数的人口学家和经济学家都认为，一旦全球人口超过100亿，地球就将很难维持下去。人类数量最近已超过70亿，那么地球是在何时达到半满状态的呢？专家表示早在几十年前就达到了——人类正冲进一条死巷子里。

你越是逃避，就越难掌握数学语言，连达到一知半解的程度都不容易，这就跟学习任何一种语言是一样的；但是，不论在什么年龄，都有可能提高数学能力。在这方面，我可以算是权威，因为我本身就是一个极端的例子。我最初在南方的穷乡僻壤念书，当时恰好是经济大萧条的末期，学校根本没有能力开设代数课程，我直到进入亚拉巴马大学才接触到这门课；等到32岁当上哈佛大学的终身教授，我才开始学习微积分。那时我尴尬地坐在教室里，和一群年龄只有我一半的大学生一起上课，当中还有几位是我演化生物学班上的学生。我放下自尊，学会了微积分。

我得承认，补修这些课程时，我的成绩很少超过C，不过我发现，提升数学能力就像练习说外语一样。如果我付出更多努力，并且多向内行请教，本来可以学有所成，但野外和实验室沉重的研究工作使我无暇顾及课业，因此只进步了一点。

数学天赋可能有部分来自遗传，这意味着一群人所展现出的数学能力差异，在相当的程度上是由群体内部的基因差异造成的，而不是他们的成长环境。遗传差异是你我改变不了的，但我们可以通过教育和练习来大幅降低环境造成的不利影响。数学的美妙之处就在于可以通过自学提高。

既然已经扯得这么远，我想干脆再深入一点，解释一下如何获得优秀的数学能力。持续的练习可以让我们想都不用想就做出基本运算（比如，“如果y=x+2，那么x=y-2”），就像说出单词和词组差不多；然后，就像我们几乎不需思考就可以将单词、词组组成句子，将句子组成段落一样，我们也可以轻而易举地将各种数学运算组合成更为复杂的序列和结构。当然，数学推理有多种形式，包含公理的假设和证明，探索数列以及发明新的几何模型。不过就算没受过这类高等纯数学训练，我们还是可以学会足够的数学语言，看懂科学期刊上的绝大部分数学式。

只有少数几门学科需要高超的数学能力。目前我能够想到的是粒子物理学、天体物理学和信息论，在其余的科学和应用领域中，形成概念的能力更为重要。在形成概念的过程中，研究人员凭直觉将种种片段组合起来，使其成为视觉图像。大家或多或少都有能力办到这一点。

假设你是18世纪的物理学家牛顿，正在思考自由落体的问题（传说他是因一颗从树上掉下来的苹果而受到启发的）。设想某物从非常高的位置落下，譬如从飞机上掉下来一个包裹，这个包裹会加速到时速190多公里并维持这个速度，直到撞上地面。该怎么解释这个不断加速直到临界速度的过程呢？使用牛顿运动定律，再把气压的因素，也就是一般用来推动帆船的那种力考虑进去即可。

再多谈一会儿牛顿。他注意到光线穿过弯曲的玻璃时，有时会出现彩虹的颜色，而且顺序总是红黄绿蓝紫。牛顿认为白光其实是彩色光线的混合。他让一组按相同顺序排列的色光通过棱镜，结果出现白光，证明了这个假设是正确的。后来的科学家利用许多其他的实验和数学推导，了解到颜色来自不同波长的辐射。我们所能看到的最长波长，会引发红色的视觉感受，而最短的波长则会引发蓝色的视觉感受。

这些你可能早就听说过了。不管你知不知道，现在让我们跳到达尔文。在1830年，年轻的他跟着英国军舰“小猎犬号”前往南美洲，在那里的海岸来回航行了5年。在这么长的一段时间中，他广泛而深入地探索和思考大自然，在那里发现了许多化石。其中有些是已经灭绝的大型动物，类似现代的马、老虎和犀牛，但有许多重要特征都和现代物种大相径庭。它们是挪亚来不及拯救的受害者吗？因为没能逃过《圣经》上记载的大洪水，而留在地层中？但这实在不太可能。达尔文想必知道，挪亚当时拯救了所有物种，但这些南美动物显然不在其中。

达尔文身为一名年轻的博物学家，从欧洲大陆来到美洲大陆，他注意到一个现象：一个大陆上的鸟类和陆生动物，在另一个大陆上会被极为相似但明显不同的物种所取代。他当时一定对此感到十分好奇，想知道到底是怎么回事。今天我们知道这就是演化的结果，但这个答案对年轻的达尔文来说是个禁忌——在他英格兰的老家，公然反驳《圣经》内容会被斥为异端，而他可是在剑桥大学受训要成为神职人员的。

在回程路上，他终究还是接受了演化的概念，并且很快就开始思索演化的原因。这是神意吗？不太可能。会是如法国动物学家拉马克所言，直接由环境造成的吗？其他人早已推翻了这个理论。会是生物体在遗传过程中逐渐累积变异，然后一代代展现出来的吗？这实在很难想象。无论如何，达尔文很快就想出另一种可能的过程——自然选择。在这个过程中，物种内部出现的带有强势遗传变异的个体——有的能够延长寿命，有的可以增加繁殖数量，或两者兼而有之——会逐渐取代同一物种里头相对弱势的个体。

自然选择的想法和逻辑推演过程，多半是达尔文在家乡的田园间散步、乘车，有一次还是坐在自家花园里盯着蚁丘时慢慢汇整成形的。达尔文后来表示，要是他那时想不通该如何解释不具生殖能力的工蚁将工蚁的身体构造和行为传给下一代的办法，他可能会放弃整套演化论。所幸，他想到了解决方案：工蚁的性状是通过蚁后传递的。工蚁和蚁后具有相同的遗传组成，但工蚁是在不同的、会使生殖能力失效的环境中生长的。据传闻，有一天，女仆看到他在花园里盯着蚁丘出神，她后来对一位住在附近的、著作颇丰的小说家说：“真可惜，达尔文先生不像萨克雷先生您一样懂得怎么打发时间。”

每个人多少都会像科学家一样做做白日梦，只要努力不懈并加以训练，幻想其实是所有创造性思维的源泉。牛顿有过梦想，达尔文有过梦想，你可能也在编织梦想。最初的形象可能很模糊，没有确定的轮廓，若隐若现。它们被勾勒在纸上后，会变得清楚些，这时它们就有了生命，成了真正可以追寻探索的目标。

科学先驱很少通过纯粹的数学概念获得新发现。世人一提起科学家，往往就会想起站在写满公式的黑板前的身影，但那种刻板印象反映的其实是教师的形象，教师是在对学生解释已知的科学发现。真正的科学进展出现在田野调查时，出现于在研究室里乱写乱涂时，在走廊上吃力地对朋友解释时，独自吃午饭时，甚至出现于花园散步的途中。努力工作才能带来灵光一现的机会——当然还要专注。一位杰出的研究人员曾经对我说，真正的科学家可以一边与另一半聊天，一边思考研究题目。

当世界的某个领域因为其自身的缘故被人研究时，最容易出现新的科学想法。它们来自一种透彻而成体系的知识，这种知识关乎那个领域里的实体与发展过程当中的已知或可想象的一切。遇到新事物时，后续步骤通常需要用到数学和统计方法，以进行分析。要是发现者认为这个步骤太过困难，可以找数学家和统计学家合作。我自己就曾和他们合写过多篇论文，我有信心提供以下原则，就让我们称此为“一号原则”：

科学家从数学家和统计学家那里得到所需的帮助，比数学家和统计学家找到能够使用其方程式的科学家容易得多。

比方说，在20世纪70年代末期，我和数学理论家乔治·奥斯特一起讨论过社会性昆虫的阶级和分工原则，我提供给他所有在自然界和实验室里发现的细节，奥斯特根据我所描绘的这个真实世界，从他的数学工具箱中找出方法，建构出假设和定理。要是没有我提供的讯息，奥斯特或许会研发出一套以抽象术语表达的广义理论，足以涵盖宇宙中所有可能的阶级排列和劳动分工，但这样却不能回推，在众多选项之中，哪一种符合存在于地球上的真实状况。

实际观察和数学论证之间的失衡，在生物学中尤其明显，现实现象中的因素往往不是被误解，就是压根不曾被注意。理论生物学中充斥着种种数学模型，有些一望即知可以忽略，有些则是经过检验后发现与现实不符。真正具有长久价值的可能不超过百分之十，只有那些和真实的生物系统的知识紧密结合的数学模型，才有用得上的机会。

若是你的数学能力太差，要想办法提升它，但同时要知道，以你现有的能力，也可以做出色的工作，尤其是在主要依靠大量田野调查数据的领域中，譬如说分类学、生态学、生物地理学、地质学和考古学。若你想去的是需要做许多实验和定量分析的专门领域，就千万要三思而后行了，这些学科都会涉及大量的物理、化学以及分子生物学中的专门知识。随着你的发展步调，学习那些可以提高你数学能力的基础知识；倘若你的数学仍然薄弱，那就在广大的科学领域中另觅他途，寻求你真正的幸福吧！相反地，要是你觉得收集资料所带来的乐趣，比不上做实验和数学分析，那就远离分类学和上述其他描述性的学科。

以牛顿为例，他是为了验证自己的想象，才发明了微积分。达尔文自己也承认，他的数学能力并不好，甚至对数学一窍不通，但他却能够用累积的大量数据，构思出一个后来能够用数学模型去诠释的过程。对你来说，重要的一步是找到一个符合你的数学能力的学科，并且专注于此。这样做的时候，请记住我的“二号原则”：

每一位科学家，无论是研究员、技术专家还是教师，不管数学能力如何，都能在科学中找到一门学科，以其有限的数学能力就可获得卓越成就。