4.8 狭义相对论的不完善，以及爱因斯坦引力理论中缺少能量守恒方程

我们知道，牛顿力学和狭义相对论都是惯性参考系的理论，牛顿力学与狭义相对论的关系是：当β→0时，狭义相对论的公式将退化成牛顿力学的公式。

例如，由狭义相对论的质量公式不难看出，在时，将变成m=m₀，即狭义相对论的质量公式变成了牛顿力学的质量公式。

再比如，牛顿的时空是由三维欧几里得空间与一维时间所组成，时空的数学表述是伽利略的时空变换公式。狭义相对论的时空则是时间与空间相互关联的四维时空，即闵可夫斯基时空，其中的时空变换公式是洛伦兹变换公式：对比伽利略变换与洛伦兹变换，不难发现，在β→0，洛伦兹变换公式将退化成伽利略变换公式。

由此可见，牛顿力学的公式不是准确的公式，准确的公式是狭义相对论的公式，牛顿力学可看作是狭义相对论在低速时的近似理论，而狭义相对论实际上是对牛顿力学的推广。因此，从力学的角度看待牛顿力学和狭义相对论，在这两个理论的公式之间，应该存在着一一对应的关系，即每个牛顿力学的公式，在狭义相对论中都应该有其相对应的公式。

牛顿力学包含两部分内容：以牛顿第二定律为核心的运动理论和以万有引力公式为主要内容的引力理论。狭义相对论既然是对牛顿力学的推广，因此，从逻辑上看，狭义相对论也应该包含两部分内容，即狭义相对论的运动理论和狭义相对论的引力理论。然而遗憾的是由于没有引入对称性破缺的思想，爱因斯坦在建立狭义相对论时，只能对牛顿第二定律进行推广，却不能把万有引力公式推广到狭义相对论。这就导致了狭义相对论在力学上不是一个完整的理论，在β→0的时候，它不能与牛顿力学完全匹配。

由于狭义相对论中没有引力理论，进而导致在爱因斯坦的理论中缺少了一个重要公式，即引力场中的能量守恒方程。

下面我们通过一个例子来说明这一问题。给定一个质量为M，半径为R的星球，并假设星球的质量是均匀分布的，再给定一个静止质量为m₀的质点，m₀M，下面研究质点m₀在星球引力作用下的运动规律。

由于讨论的引力场是球对称的情况，因此可进一步假设质点m₀只在星球的径向做直线运动。首先将球坐标系固定在星球M上，并令坐标原点与星球球心相重合。在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为

式中：G为万有引力常数；r是质点与星球质心之间的距离；u是质点的径向速度，在球对称问题中，速度u只是r的函数。利用式（4-8）我们可以推导出下面这个方程：

式（4-9）中的第一项代表质点的动能，第二项为引力势能，其中

因此，式（4-9）就是引力场中的能量守恒方程，其物理含义是

质点动能+质点势能=常量

我们知道，牛顿理论只能用在速度远远小于光速的情况，如果星球的引力场不强，质点在引力作用下的速度远小于光速时，式（4-9）是成立的。然而，当星球的引力很强，质点的速度接近光速，此时，式（4-9）已经不适用了，我们需要把相对论的效应考虑进去，即需要把质量随速度变化这个因素考虑进去，因此，在相对论中应该存在一个与式（4-9）相对应的公式，这个公式就是相对论引力场中的能量守恒方程，该方程的物理意义是

相对论的质点动能+相对论的引力势能=常量（4-11）

然而，在爱因斯坦的引力理论中却没有这一方程。

换句话说，由于爱因斯坦只考虑了对称性，而没有考虑到非对称性，从而导致爱因斯坦相对论是一个不完整的理论，在这个理论中缺少一个重要的方程，即相对论引力场的能量守恒方程。由此带来的后果就是，从爱因斯坦相对论可以推导出与能量守恒规律相矛盾的结果。

既然爱因斯坦相对论是一个不完善的理论，那么，显然我们需要对这个理论进行修改和完善。2014年笔者写了《非爱因斯坦相对论研究》一书，书中论述了笔者在这方面所做的工作。由于本书后面需要引用非爱因斯坦相对论的结果，特别是相对论引力场的能量守恒方程，因此，在下一章，我们对非爱因斯坦相对论做一简要介绍。