第2章　数据包络分析的特性与理论基础

2.1　数据包络分析一般模型

2.1.1　数据包络分析的诠释

对于绩效评价的研究，国际上较常用的方法是前沿效率分析方法，它包括参数方法和非参数方法。参数方法需要假设生产函数的形式和误差概率的分布，有时难以估计（所需的统计数据不够），或者假设的生产函数与实际不符合（主观性太大）。参数方法包括自由分布法（Distribution Free Approaches，DFA）、随机前沿法（Stochastic Frontier Analysis，SFA）和厚前沿法（Thick Frontier Analysis，TFA）。而非参数方法主要包括数据包络分析方法（DEA）和无界分析法（FDH），后者是前者在放松凸性假定情况下的一种特例。

数据包络分析方法是由查恩斯（Charnes A）、库珀（Cooper）和罗德（Rhodes E）（1978）共同提出的基于相对效率的多投入多产出分析法，它把每一个被评价对象视为一个决策单元（Decision Making Unit，DMU），使用多个DMU构造有效生产前沿面，再根据每个DMU与有效生产前沿面的距离确定它们的有效性。它具有很多优势：评价结果与各个投入产出的量纲选取无关；研究对象的产出和投入可以是多个；每个DMU可以直接与相对最优的DMU进行比较；不需要指定生产函数的具体形式，避免了主观因素，减少了误差；不同生产规模的DMU可以进行对比。近年来DEA广泛应用于评估许多国家及地区不同方面的实体的一系列活动。DEA使用不同形式的DMU来评价不同实体的绩效。例如医院、美国空军联队、大学、城市、法院、公司以及包括国家地区等之间的绩效。DEA几乎不要求假设，就可以比其他方法稳定，因为DMU中多个投入产出要素之间的关系是比较复杂的，而且是不可知的。

正如库珀（Cooper）、劳伦斯（Seiford）和刀根董（Tone）（2000）指出，DEA会为其他方法评估的DMU提供新的视角。比如，用DEA研究标杆管理实践可以鉴别盈利企业的许多无效资源——该企业被作为标杆——这被应用在许多研究领域作为识别更好的标杆的一种手段。对不同组织效率的DEA研究，例如股票与互助保险公司，表明之前其他方法的应用研究缺乏对其潜力的评估。同样，DEA方法也可用于重新评估银行合并前后的效率评估。

自从DEA在1978年被提出后，不同领域的许多研究者很快发现DEA是一种用来评估实践中绩效的简单而实用的研究方法。DEA的实证导向和无假设，使其广泛应用于政府及非盈利部门、常规部门和私营企业的效率前沿面估计。如日本迁都计划的DEA研究（Takamura，Tone，2003）。

形式上，DEA是一种与前沿面而非集中趋势直接相关的方法，不同于线性回归中试图通过数据中心寻求一个适合的回归面。如浮在分段线性表面依赖于观察前沿面。从这个角度来讲，DEA擅长揭开隐藏与其他方法之中的关系。如考虑想要从效率中知道什么，或者更一般地讲，想要知道DMU的效率优于另一个意味着什么。传统评估生产率或效率在考虑多投入多产出时会发生其他问题和限制。方法不仅不需要像常用的指数方法那样规定每一个投入产出要素权重，而且不需要像统计回归方法那样规定函数形式。

DEA利用数学规划等技术来处理多数据变量和关联（约束），并且放松了对投入产出要素的要求，利用DEA所有技术克服了困难从而扩大了选择范围。放松候选投入产出要素的条件能够使其处理复杂问题从而处理许多管理、社会政策方面的内容。甚至，从数学规划理论方法上的拓展达到指导分析解释的作用。由于许多所需要素已经在之前DEA应用中有所体现，因此也能影响计算。DEA不需要像线性回归模型和非线性回归模型那样，不需要任何形式的假设和不同模型变量而直接表示出来。

2.1.2　数据包络分析的由来

法雷尔（Farrell，1957）的动机是寻找一个更好的模型和方法评估生产力，这篇文章被视为DEA的起源。该文讨论了效率的精准测算具有很多约束，究其原因，是不能将多个投入要素的测量和整体效率的测量精准联系起来。对于例如劳动生产率、资本生产率这样的不充分的分类指数，法雷尔提出了一个更充分的活动分析方法来处理。他的估计方法计划能应用于任何一个生产组织。正如他所说，“……从一个研讨会到整个经济领域”。在这个过程中，他将“生产率”的概念拓展到更为一般的“效率”概念。

初始的DEA模型源于查恩斯（Charnes A）、库珀（Cooper）和罗德（Rhodes E）（1978），用来测量一个DMU与其相似DMU的对比效率从而估计出最优生产前沿面，被命名为CCR模型。此模型即是在法雷尔（Farrell）早期工作的基础上建立的。

Charnes、Cooper 和Rhodes在20世纪70年代早期的研究源于Rhodes 论文的努力，在Cooper教授的指导下，这篇论文评估了相对于受联邦政府支持的美国公立学校大范围学生，弱势团体学生（主要是黑种人或西班牙裔）的教育问题。值得注意的是程序执行计划——美国教育办公室（现在是教育部）的一个很大的计划，是在全国范围内一组相互竞争的学校开展的统计实验设计的原则应用。Rhodes通过对Abt（一家波士顿咨询公司）的员工调研掌握了这些数据，并和美国教育办公室签署了合同。这些数据基础足够大，尽管有许多投入产出变量，但足以能够讨论自由度等。然而Rhodes用了各种经济统计方法，仍然得到的是一些不尽如人意的结果。

试图解决这个困境，Rhodes通过一篇法雷尔富有开创性的文章——发表于1957年皇家统计学会的《生产效率的测量》引起了Cooper的注意。在这片文章中，法雷尔引入了“活动分析概念”去改进他所相信的生产率评估方面所用的一般指数方法的缺陷。

Cooper之前与Charnes合作是为库普曼斯的“活动分析概念”给出计算的强调形式。因此从表面上理解Farrell的陈述，Cooper和Rhoeds将其给出的定义形式化。这些定义为他们后面的研究提供了指导。

在上面两个定义引入帕累托有以下原因。1906年出版的《政治经济学手册》奠定了现代福利经济学的基石。例如，评估公共政策的经济学指出，如果能够在不使一些人遭到损失的情况下使一些人收益，这个社会政策就能够调整。采用这种方式就可以避免将一些人的得失进行对比。这就避免了个体效用函数的确定和个体得失重要性的相对权重的确定。

这个性质在福利经济学中被称为“帕累托标准”，在1951年库博斯曼的《生产和分配活动分析》一书中被改编引用。在此书中，最终产品被赋予这一性质，因此它们受到约束以至于在不使其他产品变坏的前提下没有最终产品能被改进。这些最终产品以规定的数量达到满意，而投入要素被确定为满足价格和每一种最终产品的外生固定数量。特别注意的是后来被库博斯曼提出的“效率价格”是结合投入要素配置效率的价格以满足最终产品的预定需求。

帕累托和库博斯曼关注整体经济的分析。在这样的情况下有理由允许投入价格和数量参考其能力去满足最终需求。然而，法雷尔拓展了帕累托-库博斯曼性质，使投入产出要素明确地避开了任何价格影响及与其相关的“价格机制”。更重要的是，他使用其他决策单元的绩效去评估每一个相关决策单元投入产出要素的行为。这实现了将这些相对效率引入实证的可能性。

这种生产评估被Farrell命名为“法雷尔效率评估”，限制“技术效率”或在不使其他投入产出要素变坏的情况下能被减少的“冗余”。法雷尔将这里与经济学文献中提到的“配置效率”和“规模效率”相区别。这些附加的效率将在本章后面的拓展中进行详细讨论，而这些在实际应用中所要处理的问题也将在之后详细讨论。这里我们需要指出的是，法雷尔评估效率方法，被具体化为“法雷尔测量”，附带了一个所有决策单元的各投入要素机会均等的假设。这并不是说所有的决策单元都需要用相同的投入总量，然而，这些效率评估的一部分不单取决于各决策单元的投入总量，还取决于各产出。

这个“机会均等假设”是不切实际的，至少可得数据是不能实现的。在处理例如配置效率和规模效率等方面的绩效，这比数据和其他要求的需求都少。此外，正如上面讨论的，这个假设可以放松。例如，可以引入非自由变量和限制去处理以不同于其他决策单元的外生固定资源的形式决策单元管理下的条件。也可以引入分类变量以确保有相似特性的相关决策单元影响评估。仍可能有一些拓展和放松，会在下面讨论。

当然，比起Farrell、Charnes、 Cooper和Rhodes对效率的定义，例如帕累托-库博斯曼拓展效率和相对效率，更为正式。然而，定义既遵循了Farrell的模型，也符合法雷尔的方法。既然这样，下文的讨论我们就沿用Charnes、Cooper和Rhodes的定义。Rhodes程序执行数据关注他的论点，例如以有问题孩子自尊的增加为产出要素，以母亲为孩子阅读时间为投入要素，通过心理测试、之前记录和事后汇报来衡量。Farrell除去了在处理投入产出要素时价格因素的必要性。

Farrell的实证工作仅限于单产出，拓展出的多产出并没有提供像程序执行那样的海量数据所需要的条件。为了获得计算强调请示的需求，Charnes、Cooper和Rhodes拓展了线性规划问题的对偶形式。值得注意的是，Farrell测量不能解释那些与混合非有效相关联的比例变化的非零松弛变量（包括投入因素和产出因素）。非零松弛变量的可能形式是这些混合非有效的来源，即使受限于技术效率，也需要关注。

由于即使当前，仍有相当多的DEA及相关文献仍对非零松弛变量理解不足，现在我们着重强调下如何处理这些松弛变量的问题。正如前面指出的，目前一个重要的问题是与法雷尔测量相同值的替代最佳解的可能形式只能和一部分最佳解的零松弛变量联合而非全部。法雷尔引入无穷大点试图解决这一问题，但是没有针对这一概念给出可行的工具形式。从罗纳德（Ronald Shephard）（1970）早期的工作中也没有得到有价值的贡献来解决这个问题。为了解决这一问题，Charnes、Cooper和Rhodes引入了围绕“非阿基米德”因素结合ξ>0的数学概念，以不改变法雷尔测量值的前提下，确保松弛变量最大化来解决这个问题。

由Cooper和Rhodes提出的对偶问题切实拓展上述观点到多投入多产出，在许多方面都可以找出每一个DMU的每一个投入产出的非有效点。加之仍有一些扼要的评估方面的需求。鉴于此，Cooper邀请Charnes加入研究，Rhodes相信这是一个富有成效的研究。利用Charnes和Cooper（1962）早期分式规划的研究，Charnes将Cooper、Rhodes提出的对偶线性规划问题以当量比的形式表示。这个为DEA统一一个固定的方法评估分析例如工程、经济领域的效率奠定了基础。

自从Charnes、Cooper和Rhodes开创研究以来，DEA方法如此迅速和广泛地被接受是其优点和实用性的强有力的证据，超过2000篇文章发表［库珀（Cooper），劳伦斯（Seiford），刀根董（Tone），2000；格瓦雷斯（Tavares），2003］。许多领域的研究者迅速认识到DEA是建模过程中优秀的方法。其实证导向和无先前假设同样促使其广泛应用于非盈利部门、常规部门和私营企业的效率评估。

目前，DEA包括很多评估绩效的可替代且相关方法。基础的CCR工作的拓展更深入分析了对偶模型的“乘数面”和具有数学对偶结构的原始模型的“包络面”。DEA有同向性、非凹性、规模经济、分段线性、柯布道格拉斯对数线性形式、任意的和非任意的投入、分类变量、顺序关系等特性。实际上前沿面的概念比经济学中称为为基本原理的生产函数的概念更为普遍。因为前沿面的概念承认多重生产函数的可能性。对于每一个决策单元，由“支持”组成的前沿面对于较有效的决策单元所在的前沿面是正切的。

2.1.3　数据包络分析一般模型

（1）单投入单产出情形

首先，单投入单产出的实例如下。假设8个分店为A到H，如表2-1所示。

雇员和销售量（以十万美元为单位）如表2-1所示。最后一行表示每名雇员的销售量——“生产率”的测量通常被用于管理和投资分析，这也可以被解释为“效率”的更普遍的内容。然后，通过测量识别出B点是效率最高的分店，而F店为效率最低分店。

将数据用图2-1表示，“雇员数量”作为横轴，“销售量”为纵轴。连接每一点和原点所在直线的斜率对应的是每一雇员销售量。斜率最高的直线是原点和点B所在直线，这条线称为“效率前沿面”。注意最少有一点在这个前沿面，其他点都在这条线上或者在低于这条线的区域。由于数学上将前沿面称为“包络”，因此数据包络方法基于这个性质命名。

基于这些数据，有感兴趣的可以画一条统计回归线。如图2-2中过原点的虚线就是基于最小二乘法原则，用方程表示为y=0.622x。正如统计学中所述，这条线通过数据点“中部”，因此我们定义线上的点为“最优点”，在此线之下的点称为“较差点”或“不满意点”。可以通过数据点与拟合线的偏差的大小来测量优秀或较差的程度。另外，前沿面标示出最好分店（B）的绩效，通过测量其他分店的偏差评估出其效率。因此统计回归方法与DEA存在根本性不同。前者反映了观测值的“平均水平”或“集中趋势”，而后者是处理最优绩效以及通过与前沿面的偏差评估所有绩效。这两个观点在评价过程中会导致完全不同的结果，同时它们也存在不同的拓展方法。DEA识别出如分店B以未来检查或者以此为“标杆”来改进。统计方法从另一个角度，取B与其他观测值的平均值，包括F作为基础来建议改进。

再回到上述实例，相信具有相同斜率前沿面能无限延长是不合理的。我们后面将对这个问题结合不同DEA模型详细分析。然而，假设这条线在兴趣范围内是有效的，并被称为规模报酬不变假设。

与最优分店B相比，其他分店都是低效率的。我们假设测量其他分店与B店相比的效率如式（2-1）所示。

（2-1）

将它们按下列顺序进行排列得出结果，如表2-2所示。

1=B>E>D>C>H>A=G>F=0.4

因此，最低效率F，相对于B店效率，获得0.4×100%=40%效率。

如何使低效率分店有效，如何使它们提升到效率前沿面上。例如图2-3中的分店A能通过几种方式提升效率。一种为减少投入（雇员数量）到A1达到在前沿面上的坐标（1，1）。另一个方法就是提高产出（以十万美元为单位）至A2（2，2）。线段A1A2上的任何点都提供了一个假设投入不能增加，产出不能减少而使分店效率改进的机会。

从这个非常简单的例子提取表2-1中的“比率”作为表2-2。（1，1）的值依赖于测量单位，反之则不是（1，2）。例如，如果销售单位为万美元，F的比例则从2/5=0.4变为20/5=40。然而，（1，2）的值仍然是4/10=0.4，F的相对效率得分并没有受到不同单位影响。这种性质被称为“单位不变性”，并且长期被认为在工程学中非常重要。例如，燃烧工程领域的评级炉效率实例如式（2-2）所示（A.Charnes，W.W.Cooper，E.Rhodes，1978）。

（2-2）

式中，yr为通过不同级别的炉单位燃料燃烧获得的热量，单位为焦耳；yR为此类燃料燃烧所获得的最大热量，单位为焦耳。

例如，依靠合理的化学—物理分析，从热力学原理计算所得的最大热量。需要着重强调的是，燃烧总量x需要是相同的，因此，数学上将表示为

（2-3）

因此，从“单位不变性”获得了式（2-3）。

回到表2-2中的比率，我们发现这些值介于1和0之间。然而，表2-2中的变量由过量的投入或产出不足导致。甚至，这种情况在实际商业和社会政策（经济学）中经常见到，并且有重要意义。此外，这个公式仅限于单投入产出情形。如果将其拓展为多投入多产出就要克服之前我们讨论的从“部分”到“全因素生产率”测量的困难。

（2）双投入单产出情形

为了研究多投入多产出情形，我们首先列出有两个投入一个产出的9个超市的绩效如表2-3所示。投入x1是雇员数量（单位：10人次），投入x2是面积（单位：千平方米），产出y为销售量（单位：十万美元）。然而，注意在规模报酬不变的假设下，销售量被单位化为1。因此，投入值被标准化为1单位销售。我们将各店情况画为图2-4，以雇员/销售量，面积/销售量为坐标轴。

从效率角度来看，一般来讲，通过较少的投入获得一单位产出是比较有效率的。因此我们识别出连接C、D、E点的线为效率前沿面。我们并没有讨论三个商店之间的交易，只是简单地指出前沿面上没有点能够在不使其他变坏的基础上改进投入值。这个前沿面和通过C点的水平线、通过E点的垂线能包住所有的数据点，我们称这个区域为“生产可能集”。由于不能保证区域的边界是分段线性的，更准确地讲，应该称为分段线性生产可能集假设。例如连接E和D的线性部分和连接D和C的部分。这就是说观测点提供了（经验上的）证据，即产品有可能在这个区域任何一个坐标点上。

没有在前沿面上的分店效率仍能够通过前沿点测量。例如，A是低效率的，为了测量其低效率，首先连接原点和A点，通过前沿面交于P（图2-5）。然后，A的效率则=0.8571。这意味着A的低效率是通过D和E一起评估的，这是因为P在这两点的连线上，D和E即为A的参考集。这个参考集根据低效率分店的不同而不同。例如，B的参考集是C和D，如图2-4所示。我们还可以看到有很多分店围绕着D，因此D被称为“典型的”有效分店，而C和E同样有效，但由于其与前沿面联合且远离其他观测点，因此具有独特性。

下面我们拓展表2-3以提高低效率分店到效率前沿面上。例如，A可以通过投入x1改为3.4，投入x2变为2.6，以达到P点，从而提高效率。这是因为P点如我们之前分析的，是在前沿面上的，如图2-5所示。然而，在线段上的任何一点都能被改进。D通过较少投入x2（面积）提高效率，A1通过减少投入x1（雇员）提高效率。另外一个改进效率的可能性为在保持投入现状的前提下增加产出，这在后面将详细讨论。

（3）单投入双产出情形

表2-4给出了7家分机构每位雇员服务顾客数（单位：10人次）和每位雇员销售量（单位：十万美元）。为了获得单位化的前沿面，我们将变量按唯一的投入因素/雇员数划分。效率前沿面由B、E、F、G组成，如图2-6所示。

生产可能集是由坐标抽和前沿面共同组成，分机构A、C、D是低效率的，它们的效率可以通过前沿面评估出。例如，如图2-7所示，D的效率，如式（2-4）所示。

（2-4）

式中，d（O，D）和d（O，P）分别指“原点到D的距离”和“原点到P的距离”。

上述比例被称为“径向测量”，即为两个所测距离的比率。距离的选择不是唯一的，因此，测量距离方法及其应用是互相相关的［库珀（W.W.Cooper），劳伦斯（L.M.Seiford），刀根董（K.Tone），朱乔（J.Zhu），2007］，由熟悉度，我们选取了欧式测量，如式（2-5）所示。

（2-5）

式中，根号下为D和P的平方和，分别通过表2-4中D的坐标和y2=3/4y1，y2=20-3y1的交点即为P的坐标。

（2-6）

距离比率的解释与之前的讨论相一致。由于比率形成与原点到生产可能集的欧氏距离相关，我们从0和1之间获得测量。

我们也可以通过一种直接相关的方式解释管理上的结果。式（2-6）中的比率值介于0和1之间。由于我们关心产出，进而，以倒数的形式来表示式（2-5）比较容易，如

（2-7）

这个结果表示，为了达到有效，D需要增加4/3产出。为了确认这一点，我们只需将这个比率代入D的坐标，可得

（2-8）

其中与P用来评价D的效率的有效点的坐标相吻合。

从式（2-5）我们得出P的产出比率是可能为0.75，尤为重要的是这使D的两个产出都为低效率。因此D产出的不足通过同时增加两种产出而不改变其比率，直至到达P点。

正如所期望的，本书只关注只有一个低效率类型。这种能通过改变比率来减少的低效率被称为“技术低效率”。

另外一种低效率发生在一些（并不是所有）产出（或投入）被识别出低效率时。由于它们减少会改变产出比率（或投入要素使用率），后者被称为单投入混合低效率，前者称为单产出混合低效率，因此这种低效率被称为“混合低效率”。

我们通过图2-7中的D和P举例说明“技术低效率”的情形，使用Q和B举例说明“混合低效率”，也可以使用A、Q、B同时举例说明技术和混合低效率。因此，采用下述情形识别A的技术效率如：

（2-9）

利用这种测量的倒数，如下所示将其应用到A的坐标（1，5）中，可以得出（1，5）=（1.4，7）作为Q的坐标。

我们发现调整后的产出比率为1.4/7=1/5，和表2-4中的A的比率y1/y2=1/5相同。这在既没有使其投入变差也没有改变产出比例的同时增加了A的两个产出。通过向Q点移动技术效率得到了改善，但并没有去掉所有的低效率，甚至Q在前沿面上，但并不是有效部分。与B点相比，Q显示出投入要素1（顾客数）的不足，因此增加这一投入会使Q向B点水平移动。因此这会在不使其他产出变坏或其他投入变坏的基础上得到改进。在不改变y2前提下更正y1会改变其比率，然而，我们因此识别出A的两种低效率源头。一个是通过（1，6）给出的径向测量的技术低效率，一个是在所有技术低效率都解决后仍存在于y1的产出不足的混合低效率。

我们引入术语“纯技术低效率”，因此，为了简便，我们使用术语“技术低效率”来表示所有浪费（纯技术和混合）能在不使其他投入产出变坏的前提是减少。这也符合现在文献中的固定使用方法。当我们讨论价格、成本和其他值或权重时也会定义不同种类的低效率。

点评：术语“技术效率”来源经济学文献，经济学家门为了用来区分“技术”角度和一般称为“经济效率”的其他角度（H.R.Varian，1984）。后者求助于价格、成本等其他信息，之后我们会详细讨论。这里接下来两章，我们会集中讨论代表“浪费”的纯技术和混合低效率，在不考虑例如价格、成本等附加数据的基础上调整减少低效率。它只要求保证改进结果是真正有效的，而不需要赋予它们特殊的值。

正如这里所指，术语混合低效率来自于会计文献，还被命名为“实物变量”或“效率变量”（Kohler E L，Cooper W W，Ijiri Y，1983）。在这方面，这个指的是产品实物角度，超过了规定标准因此表现为劳动力、原材料等的过量使用。

（4）固定和可变权重

基于这点上的实例对投入产出的数量都有局限性。这使其不能通过简单的图表阐述事实，当然，这以现实中需要处理多投入多产出为代价。关键在于拓展方法使其可能处理这样的应用，一种为不需要承载过量的用户去做过量的分析计算，一种为不需要大量的数据（通常为任意的或有争议的）假设。

例如，考虑如表2-5中的情形，记录了计划要评价其相对效率的12家医院，它们有两个投入要素—医生数和护士数，两个产出要素—门诊病人数和住院病人数（单位：100人/月）。

一种简化方法为用预先选好的（固定的）权重来测量各投入产出要素。结果比率会产生效率评估的指数。例如，比重为

v1（医生权重）∶v2（护士权重）=5∶1

μ1（门诊病人权重）∶μ2（住院病人权重）=1∶3

结果如表2-6中“固定”行中所示，注意这些比率都是标准化了，因此最大比率为1，如被A的比率相除。这易于应用，但也引起了一些问题，例如调整医生与护士比重为5∶1，门诊病人和住院病人为1∶3。最后，最为重要的是结果出现的问题，这是由于权重导致的效率比率的大小和观测值的低效率程度不清楚。

相比之下，DEA用的是可变权重。特别是，权重是直接从数据结果中衍生出来的，有效地避免了固定权重的先验假设和计算。甚至，权重的选择以一种对各医院都最好的方式选择。术语“最好”是指，当这些权重应用于每家医院时，相对于其他医院，每个医院的投入产出率最大化。表2-6中的CCR行为利用“CCR模型”所得出的DEA结果。正如所示，这些效率值至少和之前的固定权重所得的效率值相等。此外，“最优比率”一般满足这些条件：①所有数据和权重都是正的（最少是非负的）。②产生的比率在0和1之间。③对于目标实体（如医院）有相同权重。因此，找不到更好的权重去评价实体的效率（相对于其他实体）。这些结果的意义是明显的，在这种情况下，评价会受到效率前沿面上的点影响以至于如C医院的效率为0.88，这表明还有12%是无效率的。也就是说，与有效参考集相比，有可能识别出12%的纯技术无效率与混合低效率相同，即使在最好的权重下，每个医院都有可能评价出其为低效率。

下面分析低效率的来源，例如每个实体通过DEA和估计总量自动识别出纯技术低效率和混合低效率。此外，参考集作为标杆也能识别出低效率。最后，正如我们所预见的，这些结果的获得只使用了极少的先验假设。除了避免预先权重的选择之外，DEA不需要投入产出要素之间有任何特殊的关联，以完全任意的形式选择。更重要的是，不需要各个医院具有相同的关联。

传统的单阶段DEA模型形式如下：单阶段DEA模型假设有n个决策单元，xij是第j个决策单元DMUj的第i项投入，yrj是第j个决策单元DMUj的第r项产出，vi是第i项投入的权重，ur是第r项产出的权重，j=1，…，n，i=1，…，m，r=1，…，s。第k个决策单元DMUk的效率值为θk，模型具体形式如下：

　　

（2-10）

vi>0，ur>0　i=1，…，m　r=1，…，s

进行t变换，令：

则上式可转化为以下的线性形式：

　　

（2-11）

Vi>0，Ur>0　i=1，…，m　r=1，…，s

由此可知，对于第k个决策单元来说，其效率值小于等于1。若其效率值等于1，即表示相对有效，反之则相对无效，且效率值越小，效率越差。