第三节　测量误差及分析

测量结果减去被测量的真值称为测量误差。

对于单次测量，测量值就是测量结果，对于重复性测量，算术平均值就是测量结果。若以表示测量结果，以x₀表示真值，则测量误差为

Δx=-x₀　　（2-1）

　　误差与不确定度是两个完全不同的概念，不应混淆和误用。在数轴上，误差是一个点，可正可负，不确定度是一个区间，不能带负号。误差大小不以人的认识程度而改变，但无法准确得到。不确定度的大小与人的认识程度有关，可以通过适当的评定和计算得到。不同的测量结果，其误差必定不同，但不确定度可以相同。同理，测量结果相同，其测量误差必定相同，但测量不确定度可以不相同。测量误差按其产生的原因和性质可分为随机误差和系统误差。

一、随机误差

由随机效应导致的误差称为随机误差。对同一物理量进行重复性测量得到n个测量值，这些测量值的误差时大时小，时正时负而不可预知。这些不可预知的变化称为随机效应。正是随机效应导致了重复测量中的分散性。随机误差的量值等于测量结果减去总体均值。若以表示测量结果，μ表示测量列的总体均值，则随机误差可表示为

ε=-μ　　（2-2）

上式中μ值不能准确得到，故随机误差的量值也不能准确得到。

当测量次数充分多时，各测得值的随机误差分布服从统计规律，随机误差的主要特性可归纳为有界性和对称性。

有界性是指测量随机误差的绝对值不会超过一定的界限，即不会出现绝对值过大的误差。对称性是指绝对值相等而符号相反的随机误差出现的次数大致相等，即测量值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的，这样，所有误差的代数和趋近于零，所以随机误差又具有抵偿性。

当误差分布呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差还具有单峰性，如图2-4所示。

二、系统误差

由系统效应导致的误差称为系统误差。这里所说的系统效应主要来源于：测量方法不理想，对环境条件的测量和控制不完善，测量仪器性能的不完善等。在物理实验教学中，由测量仪器性能不完善而引起的误差常常成为我们重点分析的误差来源。

系统误差的量值等于总体均值减去被测量的真值。若以μ表示总体均值，x₀表示真值，则系统误差为

δ=μ-x₀　　（2-3）

　　由于μ与x₀都是理想的概念，故系统误差也是无法准确得到的。

由式（2-1）～式（2-3）可得

Δx=ε+δ　　（2-4）

式（2-4）表明，测量误差等于随机误差与系统误差的代数和。由于随机误差和系统误差都是无法准确得到的，所以用式（2-4）不能将误差计算出来。但它清楚地说明了这样一个事实：测量误差是由随机效应和系统效应共同影响的结果。所以在分析不确定度来源时，即要考虑随机效应引起的不确定度，又要考虑由系统效应引起的不确定度。

在做实验结果误差分析时，应重点考虑系统误差。系统误差按其产生的原因可分为仪器误差（由于仪器本身欠缺或安装调整不当而造成的）、理论误差（由于实验原理不够完善或测量所依据的理论的近似性所造成的）和环境误差（由于外界环境偏离标准条件造成的）；按其掌握程度可分为已定系统误差和未定系统误差；按其处理方法可分为可修正系统误差、可消除系统误差和可估算系统误差，见表2-1。系统误差的一部分被修正，一部分被消除，余下的部分可以用非统计学方法进行估算。可估算的系统误差分量与随机误差分量按一定的方法合成测量不确定度。