1.3　考研真题详解

一、选择题

1设A、B为随机事件，若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＞P（A|B(＿)）的充分必要条件是（　　）．[数一2017研]

A．P（B|A）＞P（B|）

B．P（B|A）＜P（B|）

C．P（B(＿)|A）＞P（B|）

D．P（B(＿)|A）＜P（B|）

【答案】A

【解析】若P（A|B）＞P（A|B(＿)），则P（AB）/P（B）＞P（A|B(＿)）/P（B(＿)）＝[P（A）－P（AB）]/[1－P（B）]，化简得P（AB）＞P（A）P（B）．AB两项，P（B|A）＝P（AB）/P（A），P（B|）＝[P（B）－P（AB）]/[1－P（A）]，因为P（AB）＞P（A）P（B），所以P（B|A）＞P（B|）．

2设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是（　　）．[数三2017研]

A．A与B相互独立

B．A与B互不相容

C．AB与C相互独立

D．AB与C互不相容

【答案】C

【解析】P（（A∪B）∩C）＝P（AC∪BC）＝P（AC）＋P（BC）－P（ABC），P（A∪B）P（C）＝[P（A）＋P（B）－P（AB）]P（C）＝P（AC）＋P（BC）－P（AB）P（C），故P（ABC）＝P（AB）P（C），即AB与C相互独立．

3设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（　　）．[数三2016研]

A．P（B(＿)|）＝1

B．P（A|B(＿)）＝0

C．P（A∪B）＝1

D．P（B|A）＝1

【答案】A

【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），故B⊂A，则

4若A，B为任意两个随机事件，则（　　）．[数一、数三2015研]

A．P（AB）≤P（A）P（B）

B．P（AB）≥P（A）P（B）

C．P（AB）≤[P（A）＋P（B）]/2

D．P（AB）≥[P（A）＋P（B）]/2

【答案】C

【解析】由于AB⊂A，AB⊂B，按概率的基本性质，有P（AB）≤P（A）且P（AB）≤P（B），从而P（AB）≤[P（A）＋P（B）]/2．

5设随机事件A与B相互独立，且P（B）＝0.5，P（A－B）＝0.3，则P（B－A）＝（　　）．[数一、数三2014研]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】B

【解析】因为事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）．故P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），于是P（A）＝0.6，则P（B－A）＝P（B）－P（AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2．

二、填空题

1设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC＝∅，若P（A）＝P（B）＝1/2，P（AC|AB∪C）＝1/4，则P（C）＝______．[数一2018研]

【答案】1/4

【解析】计算如下

代入P（A）、P（B），可得

2随机事件A、B、C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/2，则P（AC|A∪B）＝______．[数三2018研]

【答案】1/3

【解析】根据事件运算法则以及A、B、C事件独立性可得

3设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为______．[数三2016研]

【答案】2/9

【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为