第2章 资金的时间价值
2.1 复习笔记
考点一、时间价值与现金流量
1时间价值
（1）定义
资金的时间价值是投资收益扣除全部风险报酬后剩余的那一部分收益。
考虑到通货膨胀风险，资金的时间价值就是投资收益减去风险报酬和通货膨胀贴水后的那一部分收益。
从最一般意义上讲，资金的时间价值就是指今天1元钱的价值大于未来某一时点上1元钱的价值。
（2）价值基础：平均收益
投资者为了追求尽可能高的收益，会不断地从收益低的部门向收益高的部门转移资金，最终各行业平均收益会大体相当，这个平均收益构成了资金时间价值的基础。
投资者选择今天消费还是投资以获取未来的投资收益，取决于投资所能获得的收益率。
2现金流量
（1）计算时间价值需明确的问题
①发生的时间，即每一笔资金运动是在哪一个时点上发生的；
②发生的方向，即这一笔资金运动是流入还是流出。
（2）现金流量图
现金流量图中横轴代表时间的增加，横轴上的坐标代表各个时点，从各个时点引出的纵向箭头表示发生在那一时点上的现金流量。箭头指向横轴代表资金流入，箭头背向横轴代表资金流出，流量的大小由箭头旁的数字表示。
（3）现金流量在经济分析中的作用
①它有助于经济分析；
②现金流量明确地表示了一个系统中的资金流入、流出状况，但并不包含资金在该系统内部的流动；
③无论是资金的借方或贷方，都可以通过现金流量图来分析他们在投资活动中所得到的收入和利润；
④不同的投资方案表现为不同的现金流量，通过对现金流量的研究可以评价不同投资方案的优劣，从而对投资方案进行比较和决策。
考点二、时间价值的计算
1单利和复利
（1）单利
单利是指在规定期限内只就本金计算利息，每期的利息收入在下一期不作为本金，不产生新的利息收入。
（2）复利
复利又称利滚利，是指每期的利息收入在下一期进行投资，产生新的利息收入。下一期的利息收入由前一期的本利和共同生成。复利的概念充分体现了资金的时间价值。
2终值的计算
终值又称将来值，是指现在的一笔资金在未来一段时间后的价值。
①按照单利计算，多期投资的终值计算公式可以表示为：
FVn＝PV（1＋r×n） （2-1）
式中：FVn表示终值；PV表示现值；r表示利息率；n表示计息期数。
②按复利计算，多期投资的终值计算公式为：
FVn＝PV（1＋r）n （2-2）
（2-2）式中的（1＋r）n称为复利终值系数，又可记做FVIFr，n。
多期现金流量的终值就是各单次现金流量终值之和，一般说来，次数为n，各次现金流量为CFt，利息率为r的多期现金流量的终值计算如图2-1所示。
图2-1
计算公式为：
（2-3）
3现值的计算
现值是指未来的现金收入或支出现在的价值。如果未来的现金流量是发生在多期以后的，其复利现值的计算公式可由多期复利的终值计算公式（2-2）式导出：
PV＝FVn/（1＋r）n （2-4）
式中1/（1＋r）n叫做复利的现值系数或贴现系数，可以简计为PVIFr，n，r为贴现率。这一由终值求现值的过程称为贴现。
与求终值类似，多期多次现金流量的现值是各期现金流量的现值之和，如图2-2所示：
图2-2
计算公式为：
（2-5）
式中：PV表示现值；CFt表示t期现金流量；r表示贴现率；n表示计息期数。
考点三、年金及其复利终值与现值的计算
年金是指一定时期内以固定时间间隔多次发生的、每期金额相等的现金流量。直线折旧、利息、租金等通常表现为年金的形式。
年金分为先付年金与后付年金两种。先付年金是指在每一期开始时发生的等额现金流量，后付年金是指在每一期终了时发生的等额现金流量。
1年金终值的计算
（1）后付年金终值的计算
后付年金的情形如图2-3所示。
图2-3 后付年金的终值
由图2-3可知，后付年金的终值为：
（2-6）
（2-6）式中的
称为年金终值系数，简记作FVIFAr，n。所以，（2-6）式又可以表达为：FVn＝CF1（FVIFAr，n）。
（2）先付年金终值的计算
先付年金如图2-4所示。
图2-4
其终值为：
（3）先付年金公式计算
①考虑先付年金比后付年金多付一期利息，因此只需计算出n期后付年金的终值后再乘上（1＋r）即可。
（2-7）
②考虑n期先付年金与（n＋1）期后付年金的计息期数相同，但比（n＋1）期后付年金少付一次年金，所以，只要从（n＋1）期后付年金的终值中减去一笔年金，即可得到n期先付年金的终值。
（2-8）
2年金现值的计算
（1）后付年金现值的计算
后付年金现值如图2-5所示。
图2-5
（2-9）
（2-9）式中的
称为年金现值系数，可以简记做PVIFAr，n，所以，（2-9）式又可以写做：
PVn＝CF1×PVIFAr，n
（2）先付年金现值的计算
先付年金的现金流量如图2-6所示。
图2-6
由图2-6可知，先付年金的现值应按如下公式计算：
（2-10）
3永续年金
如果每期金额相等的现金流量永久地持续下去，就称为永续年金。优先股的现金股利就是永续年金的例子。
永续年金的现金流量的个数是无限的，永续年金的价值就是这无限个现金流量的现值之和：
（2-11）
4已知终值或现值计算年金
在实际的投资活动中，不但需要根据年金计算其终值或现值，还常常需要根据已知的终值或现值计算年金。
5求贴现率
利用年金的现值和终值公式，在已知年金和现值或终值的情况下，还可以求出隐含的贴现率和收益率。运用内插法可以计算得出较为精确的贴现率。
考点四、增长年金
1永续增长年金
与永续年金一样，永续增长年金也是永不到期，但是其现金流序列会按照固定比例增长。永续增长年金现金流的增长比例被称为现金流的增长率，用g表示，用C表示第1期现金流。采用等比级数求和的方法，可以推导出永续增长年金的现值公式如下：
（2-12）
永续增长年金是永续年金（g＝0）的推广。
2增长年金
增长年金的现金流按固定比例增长，且到期时间有限。
C表示第一期现金流，g表示现金流的增长率。增长年金可以看作是被截掉现金流尾巴的永续增长年金，而被截掉的尾巴也是一个永续年金。因此，
（2-13）
根据永续增长年金的现值公式（2-12），增长年金的现值公式为：
（2-14）
只要现金流的增长率不等于贴现率，那么公式（2-14）成立。如果r＝g，那么：
（2-15）