第四节　两种可变生产要素的生产函数

一、长期生产函数的形式

在长期内，所有的生产要素的投入量都是可变的，多种可变生产要素的长期生产函数可以写为：Q＝f（x₁，x₂，…，x_n），式中，Q为产量；X_i（i＝1，2，…，n）为第i种可变生产要素的投入数量。该生产函数表示：长期内在技术水平不变的条件下由n种可变生产要素投入量的一定组合所能生产的最大产量。

假定生产者使用劳动和资本两种可变生产要素来生产一种产品，则两种可变生产要素的长期生产的函数可以写为：Q＝f（L，K）。式中，L为可变要素劳动的投入量，K为可变要素资本的投入数量，Q为产量。

二、等产量曲线的含义与性质

等产量曲线表示其他条件不变时，为生产一定的产量所需投入的两种生产要素之间的各种可能组合的轨迹。以常数Q0表示既定的产量水平，则与等产量曲线相对应的生产函数为Q＝f（L，K）＝Q0。

图2-34是一张连续生产函数的三维空间几何图形。图中水平面的两个坐标轴OL和OK分别表示劳动和资本的投入数量，高度坐标轴表示产量Q。OKQ′L为产量曲面。产量曲面上的任何一点都代表一个产量高度，由该点对应到L-K平面上两轴的垂直线表示生产这一点的产量所需要的生产要素的组合。例如，P是产量曲面上的一点，它代表产量PP′＝RR′。由P点对应到L-K平面上两轴的垂直线分别表示生产PP′产量的劳动投入量为OL₁，资本投入量为OK₁。同理，可以在图中找到生产RR′产量水平的所有的不同的要素组合：设想在高度PP′＝AA′＝BB′＝RR′，用一个平面去切产量曲面0KQ′L，会得到一条曲线APB。APB曲线是产量曲面上表示同一个产量水平RR′的点的轨迹。把APB曲线投影到L-K平面上，得到曲线A′P′B′。A′P′B′曲线是生产同一产量水平RR′的两种可变生产要素的各种不同组合的轨迹。例如，在A′、P′和B′三点上的劳动和资本投入组合都带来相同的产量水平，即AA′＝PP′＝BB′＝RR′。A′P′B′就是一条等产量曲线。

图2-34　生产函数的产量曲面和等产量曲线

把三维空间图中的等产量曲线转换到二维平面坐标中，可以得到在分析长期生产函数时通常所用的等产量曲线，如图2-35所示。

图2-35　等产量曲线

等产量曲线有如下性质：

（1）表示某一生产函数的等产量曲线图中，可以画出无数条等产量曲线，并且任何两条等产量曲线不能相交。否则，不合逻辑；

（2）等产量曲线上的任一点的斜率等于该点上以生产要素L代替生产要素K的边际替代率，MRTS不仅为负值，而且其绝对值是递减的；

（3）由于等产量曲线斜率绝对值递减，因此等产量曲线一般都凸向原点。

由于等产量曲线的几何特点与无差异曲线相似，它又被称为生产无差异曲线。但两者有区别，等产量曲线表示产量，无差异曲线表示效用，等产量曲线是客观的，无差异曲线是主观的。

三、边际技术替代率及其递减法则

1边际技术替代率

在维持产量水平不变的条件下，增加一单位某种生产要素的投入量时所减少的另一种要素的投入数量，被称为边际技术替代率。劳动对资本的边际技术替代率的定义公式为：MRTS_LK＝－ΔK/ΔL，式中，ΔK和ΔL分别为资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量。公式中加一负号是为了使MRTS值在一般情况下为正值，以便于比较。

在图2-35中，当生产50单位产量的要素组合由A点变为B点时，劳动对资本的边际技术替代率等于资本投入的减少量与劳动投入的增加量之比，即

当图中的A点沿着既定的等产量曲线的变动为无穷小时，即ΔL→0时，则相应的边际技术替代率的定义公式为：

显然，等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是等产量曲线在该点斜率的绝对值。

边际技术替代率还可以表示为两要素的边际产量之比。这是因为，边际技术替代率的概念是建立在等产量曲线的基础上的，所以，对于任意一条给定的等产量曲线来说，当用劳动投入去替代资本投入时，在维持产量水平不变的前提下，由增加劳动投入量所带来的总产量的增加量和由减少资本量所带来的总产量的减少量必定是相等的，即必有：｜ΔL·MP_L｜＝｜ΔK·MP_K｜

整理得：－ΔK/ΔL＝MP_L/MP_K

由边际技术替代率的定义公式得：MRTS_LK＝－ΔK/ΔL＝MP_L/MP_K

或者有：MRTS_LK＝－dK/dL＝MP_L/MP_K

可见，边际技术替代率可以表示为两要素的边际产量之比。

2边际技术替代率递减法则

边际技术替代率递减法则的内容：在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的，如图2-36所示。

图2-36　边际技术替代率递减

边际技术替代率递减可以用代数式表示为：dMRTS_LK/dL＜0

边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限制的。边际技术替代率递减使得等产量曲线像无差异曲线一样向右下方倾斜，且凸向原点。

3边际报酬递减与边际技术替代率递减

边际技术替代率递减和边际报酬递减有密切关系。由于要素投入的边际报酬递减，要维持产出不变，以一种要素来替代另一种要素，则第一种要素的必要投入会越来越多，即边际技术替代率递减。