第2章　一元函数微分学

一、导数与微分

表2-1　导数与微分

二、高阶导数

1．定义

（1）二阶导数

的导数称为函数的二阶导数，记作或．即或．

（2）n阶导数

（n－1）阶导数的导数称为n阶导数，记作或（n∈Z且n≥2）．

2．常见函数的高阶导数

（1）指数函数的n阶导数

（2）正弦函数的n阶导数

（3）余弦函数的n阶导数

（4）函数的n阶导数

（5）幂函数的n阶导数（是任意常数）

特别地，有

3．莱布尼茨公式

三、特殊函数的导数

1．分段函数的导数

（1）对于不是分界点的区间，直接利用求导法则和公式进行求导；

（2）判断分界点处的可导性：

①若函数在点不连续，则它在点不可导；

②若函数在点连续，且在的邻域内（除外）可导，则：

a．当存在时，设其为A，函数f（x）在点可导，且；

b．当不存在时，要用定义判断；

c．当与都存在，但不相等时，函数f（x）在点不可导．

2．隐函数的导数

设y＝y（x）是由方程F（x,y）＝0所确定的可导函数，为求得，可在方程F（x,y）＝0两边对x求导，可得到一个含有的方程，从中解出即可．

3．由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

（1）一阶导数

其中，φ（t）和ψ（t）都可导，且．

（2）二阶导数

其中，φ（t）和ψ（t）二阶可导，且．

4．反函数的导数

如果函数x＝f（y）在区间内单调、可导，且，则它的反函数在区间内也可导，且

或

四、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数满足：

（1）在[a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导；

（3），

则在（a，b）内至少有一点使得．

2．拉格朗日中值定理

如果函数f（x）满足：

（1）在 [a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导，

则在（a，b）内至少有一点，有

3．泰勒定理

如果函数f（x）在处具有n阶导数，则存在的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有

其中

4．柯西中值定理

如果函数f（x）及F（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）对任意；

（4）F（b）≠F（a），

则在（a，b）内至少有一点，有

五、洛必达法则

1．时，的洛必达法则

（1）当时，函数f（x）及F（x）都趋于零；

（2）在点a的某去心邻域内，及都存在且；

（3）存在（或为无穷大），则

2．，的洛必达法则

（1）当时，函f（x）及F（x）都趋于零；

（2）当|x|＞N时，及都存在且；

（3）存在（或为无穷大），则

3．使用洛必达法则，应注意

（1）对于x→a或x→∞时的未定式，也有相应的洛必达法则；

（2）其他一些特殊形式的未定式，例如0·∞、∞－∞、、、型，也可通过或型的未定式来计算；

（3）如果不是未定式，则就不能应用洛必达法则；

（4）洛必达法则可以和其他求极限方法结合使用，可以应用等价无穷小或两个重要极限；

①常用的等价无穷小

②两个重要极限

及

（5）当不存在时（等于无穷大的情况除外），仍可能存在．

六、函数的极值和最值

1．用导数判断函数的单调性

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则：

（1）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数y＝f（x）在[a，b]上单调增加；

（2）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数y＝f（x）在[a，b]上单调减少．

2．函数的极值

（1）极值

①极大值

设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任意x，有，则称是函数的一个极大值．

②极小值

设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任意x，有，则称是函数的一个极小值．

（2）求的极值点和极值的步骤

若函数在所讨论的区间内连续，且除个别点外处处可导，则

①求出导数；

②求出的全部驻点（一阶导数为零的点）与不可导点；

③考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

④求出各极值点的函数值，就得函数的全部极值．

3．最大值和最小值

若在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则

（1）求出在（a，b）内的驻点及不可导点；

（2）计算在上述驻点、不可导点处的函数值及f（a），f（b）；

（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是在[a，b]上的最大值，最小的便是在[a，b]上的最小值．

七、凹凸性

1．凹凸性

（1）定义

①凹性

设在区间I上连续，如果对I上任意两点恒有

则称在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）．

②凸性

设在区间I上连续，如果对I上任意两点恒有

则称在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．

（2）导数和凹凸性的关系

在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的．

2．拐点

（1）定义

设y＝f（x）在区间I上连续，是I内的点．如果曲线y＝f（x）在经过点时，曲线的凹凸性改变了，点称为该曲线的拐点．

（2）求拐点的步骤

对连续曲线y＝f（x），若除在个别点不存在，则可按可按下述步骤求函数的拐点：

①求；

②令，解出方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在的点；

③对于②中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号，则当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点．

3．渐近线

（1）定义

若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则直线L称为曲线C的渐近线．

（2）分类

①水平渐近线

若或，则曲线y＝f（x）有水平渐近线y＝b．

②铅直渐近线

若或，则曲线y＝f（x）有铅直渐近线．

③斜渐近线

若（或），则曲线y＝f（x）有斜渐近线y＝kx＋b，其中

（3）函数图形的描绘步骤

①确定函数y＝f（x）的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数；

②求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数f（x）的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

③确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；

④确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；

⑤算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合第三、四步中得到的结果，连接这些点画出函数y＝f（x）的图形．

4．曲率和曲率半径

（1）曲线的曲率

①曲率的定义

②直角坐标方程的曲率公式

③参数方程

的曲率公式

（2）曲率圆

设曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率为K（K≠0）．在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使．以D为圆心，为半径作圆（图2-1），这个圆称为曲线在点M处的曲率圆．

（3）曲率半径

曲率圆的半径称为曲线在点M处的曲率半径．

（4）曲率K和曲率半径的关系

图2-1