第3章　傅里叶变换[视频讲解]

3.1　本章要点详解

本章要点

■周期信号的傅里叶级数分析

■典型周期信号的傅里叶级数

■傅里叶变换

■典型非周期信号的傅里叶变换

■冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

■傅里叶变换的基本性质

■卷积特性

■周期信号的傅里叶变换

■抽样信号的傅里叶变换

■抽样定理

重难点导学

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一、引言

傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题又称为傅里叶分析（频域分析）。

频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而引出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。

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二、周期信号的傅里叶级数分析

1三角函数形式的傅里叶级数

（1）三角函数集

是一个完备的正交函数集，其中t在一个周期内，n＝0，1，···，¥。

（2）级数形式

周期函数可以由三角函数的线性组合来表示。若的周期为，角频率为，频率为，则傅里叶级数展开表达式为

其中，直流分量为

余弦分量的幅度为

正弦分量的幅度为

其中。

（3）其他形式

余弦形式为

正弦形式为

满足狄里赫利条件的周期信号才能进行傅里叶级数展开。任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。

2．指数形式的傅里叶级数

（1）复指数正交函数集

（2）级数形式

（3）系数

3．两种系数之间的关系及频谱图

（1）系数关系

（2）幅频、相频关系

幅频关系

相频关系

（3）频谱图

4．总结

（1）周期信号f(t)的傅里叶级数形式有两种：

①三角函数形式

②指数形式

（2）两种频谱图的关系

（3）三个性质：收敛性、谐波性、唯一性。

（4）引入负频率：对于双边谱，负频率只有数学意义，没有物理意义。

5．函数的对称性与傅里叶级数的关系

（1）偶函数：信号波形相对于纵轴是对称的，傅里叶级数中不含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项；

（2）奇函数：信号波形相对于纵坐标是反对称的，傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能包含正弦项；

（3）奇谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项。

6．周期信号的功率

周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。

7．傅里叶有限级数与最小方均误差

将傅里叶级数取前（2N＋1）项来逼近f(t)，则逼近为

误差函数为

方均误差为

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三、典型周期信号的傅里叶级数

1周期矩形脉冲信号的频谱结构

（1）三角函数形式的谱系数

由于f(t)是偶函数，因此，只有，求得系数为

（2）指数函数形式的谱系数

（3）频谱特点①包络线形状—抽样函数；

②最大值在n＝0处；

③离散谱（谐波性）；

④第一个零点坐标位于；

⑤F(n)是复函数。

对应的频谱如图3-1所示。

图3-1  周期矩形信号的频谱

2．频带宽度

第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率），由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。

（1）周期矩形脉冲信号的功率

（2）频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。

①一般把第一个零点作为信号的频带宽度，记作，带宽与脉宽成反比；

②对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。

（3）系统的通频带大于信号的带宽，才能不失真。

四、傅里叶变换

1傅里叶变换

傅里叶变换与傅里叶反变换的公式为

2．傅里叶变换的表示

其中与为偶函数；与为奇函数。

3．傅里叶变换的物理意义

无穷多个振幅为无穷小的连续余弦信号之和，频率范围为：。

4．傅里叶变换存在的条件

傅里叶变换存在的条件是f(t)绝对可积，即

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五、典型非周期信号的傅里叶变换

1矩形脉冲信号

2．单边指数信号

3．直流信号

4．符号函数

5．升余弦脉冲信号

六、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

1冲激函数的傅里叶变换

冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。

2．冲激偶的傅里叶变换

3．单位阶跃函数的傅里叶变换

七、傅里叶变换的基本性质

1对称性

若，则。

2．线性

若，则，其中，为常数，为正整数。

3．奇偶虚实性

（1）f(t)是实函数

实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。

①若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数，即

②若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数，即

（2）f(t)是虚函数

虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R(ω)为奇函数，虚部X(ω)为偶函数。

（3）无论是实函数或复函数，都满足以下性质

4．尺度变换特性

若，则。

5．时移特性

若，则。

6．频移特性

若，则。

7．微分特性

①时域微分特性

若，则。

②频域微分特性

若，则。

8．积分特性

若，则。

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八、卷积特性

1卷积定理

（1）时域卷积定理：时域卷积对应于频域相乘

若，则。

（2）频域卷积定理：时域相乘对应于频域卷积

若，则，其中

2．应用

（1）用时域卷积定理求频谱密度函数；

（2）求的傅里叶变换；

（3）在频域求解系统响应。

九、周期信号的傅里叶变换

1正弦、余弦信号的傅里叶变换

由欧拉公式和傅里叶的频移特性可得

2．一般周期信号的傅里叶变换

3．由求

4．周期单位冲激序列的傅里叶变换

5．周期矩形脉冲序列的傅氏变换

十、抽样信号的傅里叶变换

1抽样

抽样是利用抽样脉冲序列从连续信号中“抽取”一系列的离散样值的过程，它是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节，满足。

2．理想抽样

即，由频域卷积定理，有

3．矩形脉冲抽样

即，由频域卷积定理，有

4．频域抽样

即，由时域卷积定理，有

十一、抽样定理

1时域抽样定理

一个频带受限信号，若频谱只占据区间，则信号可以用等间隔的抽样值唯一地表示。抽样间隔必须不大于（其中），或者说，最低抽样频率为。

2．频域抽样定理

若是时间受限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中以不大于的频率间隔对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可唯一地表示原信号。