第五章　计数问题

1．某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】要使比赛的天数最少，则需要每天比赛的选手尽可能的多，加之每名选手每天最多参加一场比赛。第一天总共比赛48÷2＝24场，还剩24名；第二天总共比赛24÷2＝12场，还剩12名；第三天总共比赛12÷2＝6场，还剩6名；第4天总共比赛6÷2＝3场，还剩3名。第五天选2人进行比赛，淘汰1人，剩下2人，第六天决出冠军。因此，比赛至少需要举行6天。

2．甲和乙进行打靶比赛，各打两发子弹，中靶数量多的人获胜。甲每发子弹中靶的概率是60%，而乙每发子弹中靶的概率是30%。则比赛中乙战胜甲的可能性（　　）。

A．小于5%

B．在5%～10%之间

C．在10%～15%之间

D．大于15%

【答案】C

【解析】由题意可知，乙战胜甲的情况有：①乙中靶2次，甲中靶1次和0次，概率为0.3×0.3×（0.4×0.4＋2×0.6×0.4）＝5.76%；②乙中靶1次，甲中靶0次，概率为2×0.3×0.7×0.4×0.4＝6.72%，故乙战胜甲的概率为两种情况之和，即乙战胜甲的可能性为5.76%＋6.72%＝12.48%。

3．有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？（　　）

A．在1‰到5‰之间

B．在5‰到1%之间

C．超过1%

D．不超过1‰

【答案】A

【解析】由题意可知，5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率为×100%＝×100%≈2‰。因此A项正确。

4．甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？（　　）

A．37.5%

B．50%

C．62.5%

D．75%

【答案】D

【解析】设甲、乙分别在10:00～10:30到达约会地点的情况如下图，则只有在阴影部分区域甲乙能够相遇，阴影部分占总面积的75%，即两人能见面的概率为75%。

5．甲、乙两人从5项健身项目中各选2项，则甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法共有（　　）。

A．36种

B．81种

C．90种

D．100种

【答案】C

【解析】甲、乙所选的健身项目全部的情况数为×＝100种，甲、乙所选的健身项目全部相同的情况数为×＝10种，则甲、乙所选的健身项目至少有1项不同的情况数为100－10＝90种。

6．在一排10个花盆中种植3种不同的花，要求每3个相邻的花盆中花的种类各不相同，问有多少种不同的种植方法？（　　）

A．6

B．12

C．18

D．24

【答案】A

【解析】前三个花盆的种植方法为3×2×1＝6种，第四个花盆只有1种选择，第五个也只有1种选择；依此类推，种植方法有6种。

7．三位评委为12名选手投票，每位评委分别都投出了7票，并且每位选手都有评委投票，得三票的选手直接晋级，得两票的选手待定，得一票或无票的直接淘汰，则下列说法正确的是（　　）。

A．晋级和待定的选手共6人

B．待定和淘汰的选手共7人

C．晋级的选手最多有5人

D．晋级比淘汰的选手少3人

【答案】D

【解析】每位评委投了7票，则这三位评委的选择各包含了7位选手，可得下图，黑色部分代表三位评委都投票的选手，即晋级选手，记为A；阴影部分代表有两位评委投票的选手，即待定选手，记为B；白色部分代表至多有一位评委投票的选手，即淘汰选手，记为C。则有A＋B＋C＝12。由容斥原理公式可知，（7＋7＋7）－B－2A＝12，得B＋2A＝9。两式相减得C－A＝3，即晋级选手比淘汰选手少3人。

8．一个旅游团加上导游共有男士21人，女士10人。现要入住一家宾馆，除了两对夫妻各住一间，其余男女分住。宾馆设有2个床位、3个床位两种客房，要求每间房间都住满客人，这个旅游团至少要开几间客房？（　　）

A．10

B．12

C．14

D．16

【答案】B

【解析】由题意可知，两对夫妻需要2间房，设剩下的人中，男房客住x间2人间，y间3人间；女房客住u间2人间，v间3人间，根据题意则有2x＋3y＝21－2，2u＋3v＝10－2，得x＝2，y＝5，u＝1，v＝2。故至少要开2＋5＋1＋2＋2＝12间客房。

9．外语系大四年级共5个班，分别有17、21、18、19和22人。则至少有多少人通过英语专业八级考试，才能保证其中一定有20人同班？（　　）

A．21

B．43

C．93

D．97

【答案】C

【解析】由题意可知，若17、18和19这三个不足20人的班级所有人全通过，21和22人这两个班级一个19人通过，一个20人通过，则一定有20人同班，即至少有17＋18＋19＋19＋20＝93人。

10．有5个人正要从水陆两路赶往某地执行任务，他们决定通过掷骰子的方式决定哪些人走水路，哪些人走陆路：掷出的点数为3或5的人走水路，掷出其他点数的人走陆路。则恰有3人走水路的概率是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】5人中选出3人应为；每个人掷出点数为3或5的概率为，掷出其他点数的概率为。则恰好有3人走水路的概率为（）³（）²＝。

11．2013年1月23日后的第87天的日期是（　　）。

A．4月20日

B．4月21日

C．4月22日

D．4月23日

【答案】A

【解析】2013年1月23日再加8天到31日；2013年为平年，2月有28天；3月有31天；4月有30天。87－8－28－31＝－10天，再倒推10天，则2013年1月23日后的第87天就是4月20日。

12．某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】A

【解析】由题意可知，不喜欢戏剧的有11人，不喜欢体育的有16人，不喜欢写作的有8人，不喜欢收藏的有6人，只有当这四项相互没有交集时，四项活动都喜欢的人数才最少，即这个社团至少有46－11－16－8－6＝5人四项活动都喜欢。

13．将一个白色正立方体的任意2个面分别涂成绿色和红色，问能得到多少种不同的彩色正立方体？（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】A

【解析】先将一面涂成绿色，再选择一面涂红色，只有两种情况：①绿色红色相邻；②绿色红色相对。因此A项正确。

14．有A、B两长方体游泳池，其长、宽依次是10m、5m和8m、6m，A游泳池中放入了5个一样的实心铁球，水位上升了50cm，同时将B游泳池中与上述相同的铁球拣出了几个，水位下降不超过1m。问：此时至多有多少个铁球被拣出了B游泳池？（　　）

A．9

B．8

C．10

D．7

【答案】A

【解析】A游泳池中水位上升的体积为10×5×0.5＝25m³，一共放入了5个一样的实心铁球，则每个铁球使水位上升5m³；设B游泳池水位下降了1m，此时水位下降的体积是8×6×1＝48m³，每个铁球能使水位上升5m³，则拣出的铁球数量为9.6个，即至多有9个铁球被拣出了B游泳池。

15．某大学二年级要进行下一学年的选修课报名。下一学年共有8科可选，每人至少要报1科，至多可报3科。若要保证至少有29人选择相同科目组合，则需要多少人报名？（　　）

A．29

B．93

C．120

D．2577

【答案】D

【解析】只报1科有8种选择方案，报2科时有种选择方案，报3科时有种选择方案，则共有8＋＋＝92种选择方案，若每种方案有28人报名，此时再多1人报名即可保证至少有29人选择相同科目组合，这时人数为92×28＋1＝2577人。

16．如下图所示，某城镇共有6条东西方向的街道和6条南北方向的街道，其中有一个湖，街道在此变成一个菱形的环湖大道。现要从城镇的A处送一份加急信件到B处，为节省时间，要选择最短的路线，共有（　　）种不同走法。

A．35

B．36

C．37

D．38

【答案】A

【解析】要使从A到B路径最短，则必须向右或向下走且经过一段斜线以减少路程，即经过路程可能为如下两种情况：A→D→E→B或A→C→F→B。①从A到D必须经过三个横向段与两个纵向段，因此方法数相当于从5个段中选择两个为纵向（每步的方向确定则路程确定），即＝10，同理，从E到B方法数为＝3；②从A到C方法数为＝5，从F到B方法数为1。因此总的方法数为10×3＋5×1＝35种。

17．某饮料厂商进行促销活动，每5个饮料瓶可以兑换1瓶该饮料，小刚买了一箱该饮料共有39瓶，问小刚最多能兑换到多少瓶该饮料？（　　）

A．7

B．9

C．10

D．11

【答案】B

【解析】39÷5＝7…4，则喝完39瓶饮料可以兑换到7瓶饮料，且还剩下4个空瓶；再喝完7瓶饮料，则共有下7＋4＝11个空瓶，11÷5＝2…1，则可以换得2瓶饮料，且还剩下1个空瓶；喝完两瓶饮料共剩下3个空瓶，不能再兑换成饮料了，即一共能兑换饮料2＋7＝9瓶。

18．某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数为150人，则最多可有多少人参加？（　  ）

A．149

B．148

C．138

D．133

【答案】D

【解析】设该单位最多可有x人参加，则由题意可知，x－8是5的倍数，x－5是8的倍数，只有133符合。

19．训练时，若干名新兵站成一排，从“1”开始报数，除了甲以外其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于50。共有多少名新兵？（　　）

A．10

B．11

C．12

D．13

【答案】B

【解析】由题意可知，所有人报的数之和减去50应为甲报的数字的2倍。A项错误，从1到10的和为55，减去50为奇数。当人数为11时，所报数字之和为1＋2＋…＋11＝66，（66－50）÷2＝8＜11，符合要求，即共有11名新兵。因此B项正确。

20．十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数，如果报1和100的是同一人，那么共有多少个小朋友？（　  ）

A．10

B．11

C．13

D．15

【答案】B

【解析】由题意可知，若1和100为同一人，则小孩的人数必能将（100－1）即99整除。因此B项正确。