第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 考点归纳
一、静电场分析
1．静电场的物理特性
（1）场源：电荷为静电荷的源，有散无旋场，保守场，可定义势能。
（2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。
（3）特点：静电场与磁场无关。
2．静电场的基本方程和边界条件
（1）基本方程的积分形式
（2）基本方程的微分形式
（3）介质的本构（物质）方程
（4）边界条件为
①两理想介质边界条件
②导体表面的边界条件
3．电位
（1）物理意义
任意一点A的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P（零电位点）电场力所做的功，即外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点P（零电位点）移到该点所做的功。数值上为单位正电荷所具有的势能。
（2）参考点的选择
①电荷在有限区域，无穷远点为参考点；
②电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点；
③同一问题，参考点应该统一；
④参考点的选择不会影响电场，电场只与电位差有关，绝对电位无意义，只有电位差才有意义。
（3）电位方程－泊松方程
电位方程满足以下要求：
①泊松方程
②在无源区，
，拉普拉斯方程为
。
（4）电位系数
在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带电荷量之间成线性关系，故各导体的电位为
式中，
称为电位系数。下标相同的
称为自电位系数，下标不同的
称为互电位系数。
4．静电场电位函数的边值条件
电场强度
，
称为静电场的电位函数。
边界条件
5．导体系统的电容
（1）电容的物理意义：电容是储藏电场能量的度量。
（2）电容的分类（导体数目）
①单导体：
，净电荷与导体电位的比（无穷远为电位参考点）。
②双导体：其电容计算步骤如下：
a．根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；
b．假定两导体上分别带电荷＋q和－q；
c．计算两导体间的电场强度E；
d．由
，求出两导体间的电位差；
e．求比值
，即得出所求电容。
③多导体：相当于电路中的多个电容器的网络。
是导体i与地之间的部分电容，称为导体i的自有部分电容；
是导体i与导体j之间的部分电容称为导体i与导体j之间互有部分电容。
（3）电容系数
若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为
式中，
称为电容系数或感应系数。下标相同的
称为自电容系数或自感应系数，下标不同的
称为互电容系数或互感应系数。
6．电场的能量以及电场力
（1）能量及能量密度
①n个带电导体系统的电场能量
②连续分布电荷的电场能量
③电场能量密度
该式表明电场能量储藏在有场强的空间。
（2）电场力
①导体位于静电场中，自由电荷分布在导体的表面，受到电场力的作用。该力的方向为向垂直向外，将力传给导体。
②单个导体受到的电场力的计算。导体表面电荷元
受到电场力
式中，
只能为系统中其它电荷的电场，不能包括电荷元本身产生的电场。
③电场力也可用虚位移法由能量的变化来计算导体和介质所受静电力，即
式中，
表示广义坐标，
表示虚位移。
二、导电媒质中的恒定电场分析
1．基本方程
积分形式
微分形式
（1）基本方程的微分形式物理过程
导体放入静电场中，电荷将向导体表面运动，遇到导体的表面停止。若导体形成一个环路，电荷就可能沿环路方向一直流动，形成电流。
（2）在导电媒质外部电介质里的电场
恒定电场的源是（运动）电荷，恒定分布的运动电荷与静电荷无区别，故该区域恒定电场满足的基本方程
（3）在导电媒质里的电场
①电流密度满足
；
②在恒定电场，电荷分布不随时间变化，根据电荷守恒定律有
。
（4）由于恒定电场由运动电荷产生，且运动电荷的分布与时间无关，故恒定电场的源是散度源，散度源的电场是无旋电场（没有旋度源）故有
（5）在导电媒质里的电场总结
2．边界条件
（1）边界条件
（2）电位函数的边界条件
（3）若电介质不是理想电介质，有漏电，则有
3．边界条件导电媒质内恒定电流的电场与静电场的比拟
导电媒质内恒定电场 静电场
电容 电导
若电极的电导率比周围媒质的电导率大的多，则电极表面近似为等位面，若电极的形状也相同，则两电极之间的电导与电容存在下列关系：
表3-1 恒定电场与静电场的对偶量
三、恒定磁场分析
恒定磁场是有旋无源场，是一种非保守场。磁力线是闭合曲线。
1．恒定磁场的基本方程和边界条件
（1）基本方程
式中，Pm为单位体积中磁偶极矩的统计平均值。
（2）边界条件
（3）两种不同磁介质的分界面上，磁化电流面密度
式中，n由介质1指向介质2。
2．恒定磁场磁位函数和边界条件
（1）矢量磁位
①定义
②微分方程
③表达式
体分布电流
面分布电流
线分布电流
④边界条件
对于平行平面磁场或轴对称磁场，则有
⑤典型电流分布的矢量磁位
无限长直线电流的矢量磁位
磁偶极子的矢量磁位
⑥对磁通的计算有两种方法
（2）标量磁位
①定义
②微分方程
式中，
为束缚磁荷体密度。
③表达式
体分布磁荷
面分布磁荷
式中，σm＝n·M为束缚磁荷面密度。
④边界条件
⑤磁偶极子的标量磁位
当区域中存在电流时，磁场是非保守场，标量磁位不是一个单值函数。
3．电感
（1）自感
式中，L为回路C的自感系数，简称自感,单位是H（亨利）。
自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。
（2）互感
式中，M21称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。
同理，回路C2对回路C1的互感为
互感的特点
①互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，与电流无关；
②满足互易关系，即M12＝M21；
③与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。
诺伊曼公式
4．恒定磁场的能量和磁场力
（1）N个电流回路系统的磁能
（2）连续分布电流回路系统的磁能
由上式可得用场矢量表示的磁能
式中，被积函数定义为磁能密度
（3）利用虚位移法计算恒定磁场的磁场力
（4）电感器储能
四、静态场的边值问题及解的惟一性定理
1．边值问题的类型
第一类边值问题（狄里赫利问题）：已知位函数在场域边界上的值，即
。
第二类边值问题（纽曼问题）：已知位函数在场域边界上的法向导数，即
。
第三类边值问题（混合边值问题）：已知在部分场域边界上的位函数值和另一部分场域边界上的位函数法向导数，即
和
。
2．惟一性定理
静电场的唯一性定理是指在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解。即在场域V的边界面S上给定位函数
或
的值，则位函数的泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内有唯一的解。
五、静态场的求解方法
1．镜像法
（1）基本思想
在所研究的场域以外的某些适当位置上，用一些虚设的电荷（称为镜像电荷）等效代替导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
（2）根据惟一性定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则：
①所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；
②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界上的边界条件来确定。
若两导体平面不是相互垂直，而是相交成
角，只要
，其中n为整数，可用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的（2n－1）个。
2．分离变量法
基本思想
（1）将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程。
（2）求出各常微分方程的通解。
（3）把通解线性叠加起来，得到级数形式解。
（4）利用给定的边界条件确定待定常数。
3．有限差分法
基本思想：将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似替代域内的偏微分方程来求解。