1.2　典型题（含考研真题）详解

一、选择题

1．根据亥姆霍兹定理，一个矢量位由它的（　  ）唯一确定。

A．旋度和梯度　

B．旋度和散度　

C．梯度和散度

【答案】B

2．导电媒质中的功率损耗反映了电路中的（　　）。

A．欧姆定律

B．基尔霍夫电压定律

C．焦耳定律

【答案】C

二、填空题

1．矢量场函数的旋度在闭合的S上的面积分______。[华中科技大学2002研]

【答案】0

【解析】根据公式，因，所以0。

2．一个矢量场的散度在空间构成一个______场，一个矢量场的旋度构成一个新的______场。[北京航空航天大学2011研]

【答案】标量；矢量

3．静电场中引入标量位的条件是______；时变场中引入矢量位的条件是______。[电子科技大学2011研]

【答案】；

4．标量场u=xyz在点x=1，y=1，z=1处方向导数最大值______，则此方向的单位矢量a为______。

【答案】；

5．旋度矢量的______恒等与零，梯度矢量的______恒等与零。

【答案】散度；旋度

6．在分析电磁场时，通常引入矢量位函数并令，其依据是______。

【答案】

三、判断题

1．在电介质中，电场强度的散度为零处，也可能存在自由电荷。（　　）[电子科技大学2009研]

【答案】对

2．电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。（　　）

【答案】对

四、简答题

1．论述矢位的物理意义。其中为光速。[国防科技大学2002研]

答：矢位的表达式说明，t时刻r处的场不是r'处的源产生的，而是时刻r'处的源产生的。这也说明，在观察点r'处，场的变化滞后于源的变化，滞后的时间等于电磁波从r'点传到r处所需的时间，因此常常被称为滞后位。

2．简述亥姆霍兹定理。[南京理工大学2008研]

答：矢量场的散度和旋度分别代表着形成矢量场的两种资源，场的散度和旋度不能同时为0，当场的散度和旋度在空间的分布已确定时，矢量场本身也就唯一地确定了。

假如一矢量场（矢量点函数）的散度和旋度处处都已给定，则这个矢量场（矢量点函数）就确定了，最多只差一个附加常矢量。

空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加。

3．变压器中铁芯和线圈结构如图1-1所示，试解释为什么要采用薄铁板组成叠片式铁芯结构。[东南大学2003研]

图1-1

解：大块的导体在磁场中运动或处在变化的磁场中，都要产生感应电动势，形成涡流，引起较大的涡流损耗。为减少涡流损耗，变压器中广泛采用薄钢片叠压制成的铁心，利用铁的高磁导率，产生强的磁场分布，该磁场的方向是沿着环形铁片构成回路，这样涡流被限制在狭窄的薄片之内，磁通穿过薄片的狭窄截面时，这些回路中的净电动势较小，回路的长度较大，无法形成很强的涡流，因此降低了铁芯的发热。

4．矢量能否表示某静电场的电场强度？如能表示，相应的位函数是什么？如不能，说明为什么？[华中科技大学2003研]

解：因为，故该矢量能表示某静电场的电场强度，相应的电位函数为

。

五、综合分析题

1．在交变场中，在理想导体和理想介质的交界面上，电场强度和磁场强度满足什么条件？[清华大学2003研]

解：设交界面法线方向由导体指向介质。在介质一侧内边界面上，电场强度和磁场强度满足如下条件：，且导体一侧内部电场、磁场均为零。

2．空气中半径为a的球形区域均匀充满着体密度为的电荷。求球内和球外的电场强度矢量和电位移矢量，并求电位移矢量的散度和电场强度矢量的旋度。[南京理工大学2009研]

解：电场明显具有球对称性，沿半径方向且大小只是r的函数。

对于球外的点（），以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用高斯定律的积分形势，求得：

可得，写成矢量形式：

对于球内的点（），用同样的方法求得：

可得，即，写成矢量形式：

由高斯定律的微分形式可知，电位移矢量的散度大小为该点电荷体密度，可得时，电位移矢量的散度；时，为0。

易知该电场为静电场，静电场是无旋场，即，则电场强度矢量的旋度为0。

3．利用散度定理及斯托克斯定理证明：对任一矢量函数有：。[华中科技大学2003研]

证明：在直角坐标系中，有

4．在直角坐标系中，推出标量场函数f与矢量场函数的乘积的散度公式。［华中科技大学2002研］

解：在直角坐标系中，由散度的公式可得：

整理可得：　

5．若，其中，，写出f(r)的函数形式。［华中科技大学2002研］

解：已知有散度公式，所以：

已知 代入上式，可得：（K为常数）

6．已知电场为，问：该电场是均匀电场吗？为什么？电场的大小为多少？方向余弦为多少？如果另有一场量，问：这两个矢量是否垂直，为什么？［南京航空航天大学2008研］

解：（1）电场是匀强电场。因为电场与时间、空间坐标无关。

电场的大小为：　 

方向余弦为：　 

（2）两个矢量相互垂直，因为。

7．已知：

求点P(1，－1，1)处的。

解：

8．已知，，求在点（1，0，2）的：

（1）；

（2）。

解：（1），

，

（2）

9．如图1-2所示，xy平面上的一个边长为2的正方形回路，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。求：（1）矢量沿此正方形回路的线积分；（2）验证斯托克斯定理成立。

图1-2

解：（1）矢量沿圆周的线积分：

（2）要验证验证斯托克斯定理成立，只需要证明即可。

因为：　  

而且： 

所以：　 

可见，斯托克斯定理成立。

10．已知，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。

解：由于，所以：

，

11．运用散度定理计算下列积分：。其中S是z=0和z=(a²－x²－y²)^1/2所围成的半球区域的外表面。

解：设，由散度定理，得：

12．已知矢量函数，试求：（1）；（2）对中心在原点的单位立方体的积分；（3）对该立方体表面的面积分，并验证高斯定理。

解：（1）根据题意，可得：

（2）积分为：

（3）面积分为：

又因为：　 

所以有：　

则可得：　

即为高斯定理。

13．求函数在点（1，1，2）处沿方向角，，的方向的方向导数。

解：由题意，可得：

，==0，==3

，，

所以有：

14．利用直角坐标，证明 。其中f为标量函数，A为任意矢量函数。

证明：在直角坐标系中：，

所以 　

15．电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求空间各点的电场强度，并由此计算电场强度的散度。（计算中所用公式：，）

解：做半径为r的球（与电荷球体同心），由对称性可知，在球面上各点的电场强度E相同，并沿径向。

当r>a时，球面所围的总电荷为Q。

由高斯定理得：，

当r<a时，球面所围的电荷为：

由高斯定理得：，

计算电场强度E的散度

当r>a时：

当r>a时：