第1章　矢量分析

1.1　考点归纳

一、场

1．场的定义

数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。

物理角度：场是一个被界定的或无限扩展的空间内能够产生某种物理效应的特殊物质，且具有能量。

2．场的分类

（1）按物理量的性质分

标量场：描述场的物理量为标量。

矢量场：描述场的物理量为矢量。

（2）按场量与时间关系分

静态场：是指场量不随时间发生变化的场。

动态场：又称时变场，是指场量随时间的变化而变化的场。

二、矢量和标量

1．概念

标量：只有大小，没有方向。

矢量：既有大小又有方向。

2．矢量的表示

几何表示：一条有方向的线段。

代数表示：。

矢量的模：。

矢量的单位矢量：。

常矢量：大小方向均不变的矢量，单位矢量不一定是常矢量。

3．矢量的代数运算

（1）矢量的加减法

矢量的加减法则遵循平行四边形法则。

　 

交换律：

结合律：

（2）标量与矢量的乘积

（3）矢量的乘法

表1-1

（4）矢量的混合运算

①标量三重积

定义：

含义：结果为三矢量构成的平行六面体的体积。

推论：三个非零矢量共面的条件

②矢量三重积

定义：

4．三种常用的正交曲线坐标系

（1）直角坐标系

①坐标元素

图1-1

坐标单位矢量：，，

位置矢量：

线元矢量：

面元矢量：，，

体积元：

②坐标表示

模计算：

单位矢量：

方向角与方向余弦：

加法：

减法：

点积：

叉积：

标量三重积:

（2）圆柱坐标系

图1-2

①元素

坐标单位矢量：，，

线元矢量：

面元矢量：，，

体积元：

②圆柱坐标系与直角坐标系的关系

，，

（3）球坐标系

图1-3

①元素

坐标单位矢量：，，

线元矢量：

面元矢量：，，

体积元：

②球坐标与直角坐标转化

，，

三、标量场的梯度

1．标量场的等值面

（1）定义

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。

（2）方程

（3）特点

①常数C取不同的值，得到一系列等值面，形成等势面族；

②标量场的等势面充满整个空间；

③标量场的等值面互不相交。

2．方向导数

（1）方向导数计算公式

式中，是方向l的方向余弦。

（2）最大值：当梯度的方向与该点的方向向量平行时。

3．梯度

（1）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。

（2）梯度的表达式

①直角坐标系：　

②圆柱面坐标系: 

③球面坐标系：　

4．梯度运算的基本公式

5．梯度的性质

（1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点上午方向表示该点场变化最大的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。

（2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。

（3）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面。

四、矢量场的散度与旋度

1．矢量线

矢量线：曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合。

图1-4

2．通量

图1-5

定义：

矢量场对闭合曲面的通量：

讨论：

（1），穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，闭合面内存在正的通量源；

（2），穿出闭合面的通量小于穿入曲面的通量，闭合面内存在负的通量源；

（3）,穿出闭合面的通量等于穿入曲面的通量。

3．散度

（1）定义：矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。

（2）特点：标量。

（3）散度表达式

①直角坐标系：

②柱面坐标系：

③球面坐标系：

（4）散度定理(高斯定理）

矢量场在空间任意闭合曲线的通量等于闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分。

4．环流

对任何闭合曲面的通量为零，但在场所定义的空间中闭合路径积分不为零。

环量的大小与环面的方向有关。

5．旋度

（1）定义

方向为该环的法线方向，大小等于某点最大环量密度。

（2）符号表示

=

①直角坐标系 

②圆柱坐标系 

③球坐标系　 

6．斯托克斯定理

矢量场F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积分。

五、无旋场与无散场

1．矢量场的源

散度源：标量

旋度源：矢量

2．无旋场与无散场

（1）无旋场

①仅有散度源而无旋度源的矢量场为无旋场，如静电场，。

②梯度矢量的重要性质：其旋度恒等于零，即。

③任何标量场的旋度恒为零。

（2）无散场

①仅有旋度源而无散度源的矢量场为无散场，如恒定磁场，。

②旋度矢量的重要性质：其散度恒等于零，即。

③任何矢量场的旋度的散度恒为零。

（3）无旋、无散场（源在讨论的区域之外）

（4）有散有旋场

分解：无散场部分和无旋场部分。

六、拉普拉斯运算与格林定理

1．拉普拉斯运算

（1）标量拉普拉斯运算

①概念：

②计算公式

直角坐标系

圆柱坐标系

球坐标系　

（2）矢量拉普拉斯运算

①概念：

②计算公式

直角坐标系：

③常用的矢量恒等式

2．格林定理

说明：

（1）利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

（2）格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，若已知其中一种场的分布，则可利用格林定理求解另一种场的分布。

七、亥姆霍兹定理

1．无界区域

在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。

2．有界区域

在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可表示为