第七章　初等数学问题

一、多位数问题

多位数问题主要涉及一位数、两位数、三位数等多位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中，考查重点是考生的分析数字分析能力，需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。多位数问题考查技巧涉及多位数构造、数字拆分、数字结构分析、直接代入验证等多个技巧。

位值原理：

①若某数的个位、十位、百位……依次为a，b，c…则该数的值为a×10⁰＋b×10¹＋c×10²＋…

②若某数的个位、十分位、百分位……依次为a，b，c…则该数的值为a×10⁰＋b×10^－1＋c×10^－2＋…

1．多位数构造

多位数构造指题目给出某多位数的数位信息，构造出具体的多位数。

【例1】由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？（　　）

A．50　

B．54　

C．58　 

D．60

【答案】C

【解析】由题意可知，大于34152的五位数有以下几种情况：①万位数是4或5时分别有4×3×2×1＝24（个）；②万位数是3，千位数是5时有3×2×1＝6（个）；③万位数是3，千位数是4时有4个：34215，34251，34512，34521。则共有24＋24＋6＋4＝58（个）数。

【例2】编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？（　　）

A．117 

B．126 

C．127　

D．189

【答案】B

【解析】从第1页到第9页，用掉了9个数字；从第10页到第99页，用掉数字共计90×2＝180（个），还剩余的数字270－9－180＝81（个），将全部用于三位数页码的构造。故能编三位数页码81÷3＝27（页），即这本书一共有100＋27－1＝126（页）。

2．数字拆分

数字拆分指因为数字的特殊结构，需要对每位数上的数字单独分析的方法。

【例3】一个自然数（0除外），如果它顺着数和倒过来数都是一样的，则称这个数为“对称数”。例如，2，101，1331是对称数，但220不是对称数。由数字0，1，2，3组成的不超过3位数的对称数有（　　）个。

A．9　 

B．12　

C．18

D．21

【答案】C

【解析】一位数有3种情况，分别为1，2，3（注意0除外）；两位数有3种情况，分别为11，22，33；三位数要为对称数，其百位数字不能为0，且应与个位数字相同，只有3种选择，而十位数字可以为任意情况，有4种选择，因此符合要求的三位数有3×4×1＝12个。综上所述，对称数共有3＋3＋12＝18（个）。

3．数字结构分析

数字结构分析指通过对数值的每个位数或添加数字在某些位数后，结构上发生的一些变化，通过对这些结构变化上的分析，得出具体的数字。

【例4】有一个两位数，如果把数码1加在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1加在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而这两个三位数相差414，求原来的两位数？（　  ）

A．35 

B．43　 

C．52　

D．57

【答案】D

【解析】设这个数十位为x，个位为y，则这个数可表示为10x＋y，将1加在这个数前形成的新数为a＝100＋10x＋y，将1加在其后形成的新数为b＝100x＋10x＋1，由两数相减为414，可知b的个位“1”减去a的个位“y”结果应为4，则y应为7。因此D项正确。

4．直接代入验证

直接代入验证，指在题目所给信息不是那么明确的情况下，将每一个答案代入到题中所给信息，满足题目信息的就是所要选的答案。在多位数分析中，这是一种比较有效的方法。

【例5】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693。这两个自然数的差等于多少？（　　）

A．33 

B．27　 

C．11　 

D．9

【答案】A

【解析】设这两个数是A×M，B×M，M是这两个数的最大公约数，其中A，B，M均为整数，则A×M＋B×M＝（A＋B）×M＝279，M＋A×B×M＝（1＋A×B）×M＝693，得M是279的约数。有M＝1，3，9，11，27，33，99，297八种情况，分别代入两个式子计算，得当M＝33时，A，B＝4或5，即一个数是4×33＝132，一个数是5×33＝165，两者之差为165－132＝33。

二、余数相关问题

1．基本余数问题

余数基本关系式：被除数÷除数＝商…余数（0≤余数＜除数）。

余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数。

核心公式：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）；被除数－余数＝除数×商，这也可以看作具有整除性质，在余数计算中常有使用。

【例6】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。（　　）

A．44　

B．43　 

C．42　

D．41

【答案】D

【解析】设这个整数为x，商分别为a、b、c，则有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即

x（a＋b＋c）＝615，即所求数应能将615整除，只有41符合。

【例7】某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人，统计员提供的学生总数比实际总人数少270人，原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了，该学校学生总数最多是多少人？（　　）

A．748

B．630　 

C．525 

D．360

【答案】B

【解析】由“平均每个班35人”可知，该校学生总数能被35的质因数5、7分别整除，只有630符合。

2．同余问题

同余指两个整数，它们除以同一个整数所得的余数相同。

①余同取余：如果一个被除数的除数不同，余数相同，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数共同的余数。

②和同加和：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的和相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数与余数的和。

③差同减差：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的差相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数减去除数与余数的差。

【例8】一个整数除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用这个整数除以35，则余数为（　　）。

A．8　 

B．19　 

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由题意可知，题中除数与余数相加均为8，由同余问题的口诀“差同减差，和同加和，余同取余，公倍数作周期”可知，这个数为210n＋8。又因为210能被35整除，则这个数除以35的余数为8。因此A项正确。

【例9】有一个两位数，除以3的余数为2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是（　　）。

A．0　 

B．5　 

C．1 

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍数做周期”可知，满足条件的整数为5＋12n（n≥1），故该整数除以12的余数为5。

【例10】三个运动员跨台阶，台阶总数在100～150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶；第二位运动员每次跨4级，最后一步还剩3级台阶；第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问这些台阶总共有（　　）级？

A．119

B．121　

C．129　

D．131

【答案】A

【解析】3、4、5的最小公倍数为60，则总级数为60n－1，则有100≤60n－1≤150，解得n＝2，即台阶总共有119级。

三、平均数

平均数相关公式主要有：

（1）算数平均数：x＝（x₁＋x₂＋x₃＋…＋x_n）÷n

（2）调和平均数：＝

（3）加权平均数：＝

其中，w₁，w₂，w₃，…，w_n分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的权。

【例11】有四个数，去掉最大的数，其余三个数的平均数是41，去掉最小的数，其余三个数的平均数是60，最大数与最小数的和是95。则这四个数的平均数是（　　）。

A．49.75　

B．51.25　 

C．53.75

D．54.75

【答案】A

【解析】将所有情况合为整体，恰好每个数字被计算两次，则平均数＝（41×3＋60×3＋95）÷2÷4＝49.75。

【例12】T＝，则T值的整数部分是（　　）。

A．180

B．181 

C．182　

D．183

【答案】D

【解析】，因此＜T＜，得182＜T＜182.9，即T的整数部分应为182。

四、数列问题

1．常用数列推理公式：

①1＋2＋3＋4＋5＋……＋n＝n（n＋1）；

②1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝；

③＋＋＋……＋＝n（n＋1）（2n＋1）；

④＋＋＋……＋＝（2n－1）（2n＋1）；

⑤－＋－＋……＋＝n（n＋1）；

⑥1×2＋2×3＋3×4＋……＋ n（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）。

⑦＋＋＋……＋＝

2．等差数列

等差数列即相邻两项的数值的差值是一定值的连续数列。

（1）通项公式

a_n＝a₁＋（n－1）d

其中，a₁表示数列的第一项，a_n表示数列的第n项，d表示公差。

（2）求和公式

S_n＝na₁＋d＝＝平均数×项数＝中位数×项数

（3）对称公式

当m＋n＝p＋q时，有a_m＋a_n＝a_p＋a_q

特别地，当m＋n＝2p时，则有a_m＋a_n＝2a_p

（4）等差中项

在数值a、b之间插入一个数值M，使得M＝（a＋b）/2，称M是数列a、M、b的等差中项。对于有n个数值，且n是一个有限的数值等差数列：

①n是奇数，等差中项M＝a（n＋1）/2＝（a₁＋a_n）/2，其求和公式为Sn＝Mn；

②n是偶数，等差中项M＝（a_n/2＋a_n/2＋1）/2，其求和公式为Sn＝Mn。

【例13】已知等差数列｛a_n｝满足a₂＋a₄＝4，a₃＋a₅＝10，则它的前10项的和S₁₀＝（　  ）。

A．138

B．135

C．95　

D．23

【答案】C

【解析】由a₂＋a₄＝4，a₃＋a₅＝10得，a₁＝4，d＝3，故S₁₀＝10a₁＋45d＝40＋135＝95。

3．等比数列

等比数列a₁，a₂，…，a_n

（1）公差：q＝

（2）求和公式：S_n＝

（3）性质：当m＋n＝p＋q时，有a_ma_n＝a_pa_q，特别地，当m＋n＝2p时，则有a_ma_n＝a_p²。

【例14】1，1，2，6，（　  ）。

A．21 

B．22　

C．23 

D．24

【答案】D

【解析】这是一个典型的等比数列，后一项比前一项分别为1，2，3，4。

【例15】232，364，4128，52416，（　  ）

A．64832　

B．624382　

C．723654  

D．87544

【答案】A

【解析】将每个数看成3个部分的组合。第一部分：2、3、4、5、（6）为连续自然数；第二部分：3、6、12、24、（48）是公比为2的等比数列；第三部分：2、4、8、16、（32）是公比为2的等比数列。所填数应是64832。