第五章　几何问题

一、平面几何问题

1．周长问题

（1）周长公式

①正方形C＝4a（其中a为边长）；

②长方形C＝2（a＋b）（其中a、b分别为长方形的长、宽）；

③圆形C＝2πR（其中R为圆的半径）。

（2）题型设置

①规则的图形：直接利用图形的周长公式计算。

【例1】一个等腰三角形，一边长是30厘米，另一边长是65厘米，则这个三角形的周长是（　　）。

A．125厘米

B．160厘米

C．125厘米或160厘米　

D．无法确定

【答案】B

【解析】由三角形两边之和大于第三边可得，等腰三角形的腰长是65厘米。则三角形的周长是65×2＋30＝160（厘米）。

【例2】半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周，小圆滚了几圈？

（　　）

A．4圈　  　

B．5圈　   

C．6圈　 

D．7圈

【答案】B

【解析】根据公式可知，周长比等于半径比，所以小圆滚动了5周。

②不规则的图形

如果知道各个边长的长度，直接相加；如果不知道各个边长的长度，可以采用割补法，将图形变成一个比较规则的图形。

【例3】将半径分别为4厘米和3厘米的两个半圆如图放置，则阴影部分的周长是（　　）。

A．21.98厘米　

B．27.98厘米　 

C．25.98厘米 

D．31.98厘米

【答案】B

【解析】阴影部分周长＝大半圆半径＋小半圆直径－大半圆半径＋（大半圆弧长＋小半圆弧长）＝2×3＋（3＋4）×π＝7π＋6，π取3.14，则阴影部分的周长是27.98厘米。

2．面积问题

（1）规则的图形：直接利用图形的面积公式计算。常用的面积公式有

①正方形S＝a²（其中a为正方形的边长）；

②长方形S＝ab（其中a、b分别为长方形的长、宽）；

③圆形S＝πR²（其中R为圆形的半径）；

④三角形S＝ah（其中h是边长为a的边所对应的高）；

⑤平行四边形S＝ah（其中h是边长为a的边所对应的高）；

⑥梯形S＝（a＋b）h（其中a、b分别为梯形的上底、下底；h是梯形的高）；

⑦扇形S＝（其中n是扇形的角，R是扇形的半径）。

【例4】有一个边长为2a的正三角形，将其各边中点相连得到第二个三角形，那么连接到第四次时，得到的三角形的面积为（　　）。

A．a²

B．a²

C．a²

D．a²

【答案】B

【解析】由题意可知，该正三角形的边长为2a，则面积为a²；由于连接一次中点所得的三角形面积是原来三角形面积的，因此，连接到第四次时所得到的三角形面积S＝a²××××＝a²。

【例5】长方形ABCD的面积是72平方厘米，E、F分别是CD、BC的中点。问三角形AEF的面积为多少平方厘米？（　  ）

A．24 

B．27   

C．36　

D．40

【答案】B

【解析】△AEF可看作长方形依次去除周围三个三角形得到，△ABF为长方形的，AADE为长方形的，而△ECF为长方形的，则△AEF为长方形大小的，即其面积为27平方厘米。

【例6】把一个边长为4厘米的正方形铁丝框拉成两个同样大小的圆形铁丝框，则每个圆铁丝框的面积为（　　）。

A．

B． 

C．　 

D．

【答案】D

【解析】由题意可知，设圆铁丝框半径为r，则4×4＝2×2πr，r＝，则每个圆形丝框的面积为＝。

【例7】如图所示，梯形ABCD的对角线AC⊥BD，其中AD＝，BC＝3，AC＝，BD＝2.1。问梯形ABCD的高AE的值是（　　）。

A．

B．1.72　 

C．

D．1.81

【答案】C

【解析】已知四边形的对角线相互垂直，则四边形的面积等于对角线乘积的一半。梯形的面积＝＝

（AD＋BC）×AE，得AE＝。

（2）不规则图形：给出的图形，并不规整，可以通过修改、增补图形中的某些部分，使得图形变为比较规整的、便于应用公式的图形。

【例8】在边长为2厘米的正方形里，分别以它的边长为直径画弧，如图所示，则四叶玫瑰型（阴影部分）的面积为（　　）平方厘米。

A．2.86　 

B．2.28　 

C．2.14　 

D．2

【答案】B

【解析】将正方形对角线连起来，看下面的半圆，外侧的阴影部分的面积等于圆形的面积，减去三角形的面积，即π×12/2－2×1/2＝3.14/2－1＝1.57－1＝0.57；整个阴影部分的面积是0.57×4＝2.28。

【例9】在右图的长方形中，长和宽分别是6cm和4cm，阴影部分的面积和是10cm²，四边形ABCD的面积为（　　）平方厘米。

A．2　

B．4　 

C．5 

D．8

【答案】B

【解析】S_△AGF=4×6÷2=12（cm²），它与阴影部分的面积和是12＋10=22（cm²），而五边形HCEFG的面积是长方形HEFG的等于（cm²），所以四边形ABCD的面积是22－18=4（cm²）

【例10】如图，三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。求阴影部分的面积之和是（　　）。 

A．29.25cm²　   

B．33.25cm² 　 

C．35.35cm² 　 

D．39.25cm²

【答案】D

【解析】将原图割补成下图：

阴影部分正好是一个半圆，面积为5×5×3.14÷2=39.25（cm²）。

3．角度问题

常用知识点：

①三角形内角和为180°；

②N边形内角和为（N－2）×180°；

③任意封闭的凸多边形，外角和为360°。

【例11】N是正方形ABCD内一点，如果NA:NB:NC＝2:4:6，则∠ANB的度数为（　　）。

A．120°　

B．135°　

C．150°　

D．以上都不正确

【答案】B

【解析】过B作BN′⊥BN，且使BN′＝BN，连接N′A，N′N，如下图所示，因为∠N′BN＝∠ABC＝90°，得∠N′BA＝∠NBC。又因为AB＝BC，BN′＝BN，有△N′AB≌△NCB，则N′A＝NC，设NB＝4x，NC＝N′A＝6x。在直角△NBN′中，∠NN′B＝45°，且NN′＝＝4x，在△N′AN中，N′＝N′＋，所以∠N′NA＝90°，得∠ANB＝135°。

二、立体几何问题

1．表面积问题

常用的表面积公式有：

①正方体的表面积S＝6a²（其中a正方体的边长）；

②长方体的表面积S＝2ab＋2bc＋2ac（其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高）；

③球体的表面积S＝4R²＝D²（其中R为球的半径；D为球的直径）；

④圆柱体的表面积S＝2R²＋2Rh（其中R为圆柱体底面圆的半径，h是圆柱体的高）；

⑤圆柱体的底面积S＝2R²（其中R为圆柱体底面圆的半径）；

⑥圆柱体的侧面积S＝2Rh（其中R为圆柱体底面圆的半径，h是圆柱体的高）。

【例12】如图，正四面体P－ABC的棱长为a，D、E、F分别为PA、PB、PC的中点，G、H、M分别为DE、EF、FD的中点，则三角形GHM的面积与正四面体P－ABC的表面积之比为（　　）。

A．1:8

B．1:16

C．1:32

D．1:64

【答案】D

【解析】由题意可知：DE＝EF＝FD＝棱长、DG＝GE＝EH＝HF＝FM＝MD＝GM＝MH＝HG，则S_△GMH＝S_△DEF、S_△DEF＝S_△ABC，即三角形GHM是四面体P－ABC表面积的。

【例13】若在一个边长为20厘米的正方体表面上挖一个边长为10厘米的正方体洞，问大正方体的表面积增加了多少？（　　）

A．100㎝²

B．400㎝² 

C．500㎝² 

D．600㎝²

【答案】B

【解析】在一个边长为20㎝的大正方体中挖去1个边长为10㎝的小正方体，则大正方体原有的6个面只有其中1个面的面积减少了100㎝²，而小正方体则多出了5个100㎝²的面，因此大正方体的面积增加了400㎝²。

【例14】一个长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体盒子。一只瓢虫从盒子的任意一个顶点，爬到与该顶点在同一体对角线的另一个顶点，则所有情形的爬行路线的最小值是（　　）。

A．　

B．　

C．　 

D．

【答案】D

【解析】把纸盒由立体展为平面，有三种展开方式，如下图所示，其中瓢虫从一个顶点走向同一体对角线的最短距离为＝（厘米）。

【例15】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体中体积最大的是（　　）。

A．四面体　

B．六面体  　

C．正十二面体　

D．正二十面体

【答案】D

【解析】相同表面积的空间几何图形，越接近于球，其体积越大。正二十面体是四个图形中最接近于球的立体几何图形，体积最大。

【例16】把一个64cm×40cm×24cm的长方体切成若干个完全相同的小正方体，并使这些小正方体的表面积总和最小。则小正方体的表面积总和为（　　）。

A．73280cm² 

B．54680cm²

C．69450cm²  

D．46080cm²

【答案】D

【解析】要使这些小正方体的表面积总和最小，那么小正方体的边长要尽可能大。64、40、24的最大公约数为8，因此小正方体的边长为8cm，共有64×40×24÷8³=120（块）。表面积总和为6×8²×120=46080（cm²）。

2．体积问题

常用体积公式有：

①正方体V＝a³（其中a正方体的边长）；

②长方体V＝abc（其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高）；

③球体V＝R³＝D³（其中R为球的半径；D为球的直径）；

④圆柱体V＝R²h（其中R为圆柱体底面圆的半径，h是圆柱体的高）；

⑤圆锥体V＝R²h（其中R为圆锥体底面圆的半径，h是圆锥体的高）。

【例17】一间长250米、宽10米、高4米的仓库放置了1000个棱长为1米的正方体箱子，剩余的空间为多少立方米？（　　）

A．0　 

B．1500 

C．5000

D．9000

【答案】D

【解析】仓库的空间为250×10×4＝10000（立方米），1000个箱子的体积为1000×＝1000（立方米），则剩余空间为9000立方米。

【例18】一个底面面积为9π厘米的圆柱体，斜着截去一段后，截成的形体如图，一边高6厘米，一边高4厘米，它的体积是多少？（　　）

A．45π

B．40　 

C．　 

D．36.5π

【答案】A

【解析】将所给类圆柱体再复制一个放到上面，恰好构成一个新圆柱体，新圆柱体高为6＋4＝10厘米，则它的体积是新圆柱体积的一半，为9×10÷2＝45π（立方厘米）。

【例19】小曾做了一个长方体纸盒，所有棱长的和是120，长宽高的比是5:3:2，该长方体纸盒的体积是多少？（　　）

A．810 

B．375 

C．288　

D．180

【答案】A

【解析】由题意可知，长＋宽＋高＝120÷4＝30，长宽高的比是5:3:2，所以该长方体纸盒的长为15，宽为9，高为6，体积＝长×宽×高＝15×9×6＝810。

【例20】某个装有一层12听可乐的箱子，现在要向箱子中的空隙放入填充物，已知每听可乐直径为6㎝，高12㎝。则至少要向该箱子放多少填充物？（　　）

A．835㎝³

B．975㎝³

C．1005㎝³ 

D．1115㎝³

【答案】D

【解析】由题意可知，恰好装满这12听可乐的箱子的底面积应为6×6×12＝432（cm²），且要使填充物放得最少，则箱子要与可乐同高。至少要向该箱子放入432×12－9×12×12≈1115（cm³）的填充物。_­

3．正方体染色问题

题型简介：将一个大正方体表面染色，在切割成若干个相同的小正方体，求三面被染色、两面被染色、一面被染色或没有面被染色的小正方体的数目。

解题技巧：假设将一个立方体切割成边长为原来的1/n的小立方体，在表面染色，则：

（1）三个面被染色的是8个顶角的小立方体；

（2）两个面被染色的是12（n-2）个在棱上的小正方体；

（3）只有一个面被染色的是6（n-2）²个位于外表面中央的小正方体；

（4）都没被染色的是（n-2）³个不在表面的小立方体。

【例21】一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？（　　）

A．296　

B．324 

C．328　 

D．384

【答案】A

【解析】边长为8的正立方体共有8×8×8=512（个）边长为1的小正立方体，不在表面的小正立方体共有

6×6×6=216（个），所以被染色的小正方体的个数为512-216=296（个）。

三、几何性质问题

1．几何极限理论

①平面几何图形在周长相同的情况下，其形状越接近于圆，面积越大；

②平面几何图形在面积相同的情况下，其形状越接近于圆，周长越小；

③立体几何图形在表面积相同的情况下，其形状越接近于球，体积越大；

④立体几何图形在体积相同的情况下，其形状越接近于球，表面积越小。

【例22】在下列a、b、c、d四个等周长的规则几何图形中，面积最大和最小的分别是（　　）。

A．a和c　 

B．d和a　 

C．b和d 

D．d和c

【答案】D

【解析】周长与边数、面积的关系是周长相同则边数越少面积也越小，越趋近于圆，面积越大。

2．等比例放缩性质

一个几何图形其尺度变为原来的m倍，则：

①对应周长变为原来的m倍

②对应面积变为原来的m²倍

③对应体积变为原来的m³倍

【例23】正六面体的表面积增加96%，则棱长增加多少？（　　）

A．20% 

B．30% 

C．40%　

D．50%

【答案】C

【解析】设增加后的棱长为x，原来的棱长为1，则面积增加为＝0.96，x＝1.4，则棱长增加了40%。

3．三角形性质

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

【例24】一个三角形的两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是：（　　）。

A．3a＞L＞3b　

B．2（a＋b）＞L＞2a

C．2a＋b＞L＞2b＋a

D．3a－b＞L＞2＋2b

【答案】B

【解析】根据题意，设第三边为c，则有a－b＜c＜a＋b，所以2a＜L＜2（a＋b）。

4．圆的性质

若两圆相离，则不存在交点，有四条公切线；若外切，存在一个交点，有三条公切线；若相交，有两个交点，两条公切线；若内切，有一个交点，有一条公切线；若内含，一个圆完全在一个圆内，无公切线。

【例25】若半径不相等的两个圆有公共点，那么这两个圆的公切线最多有（　　）。

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

【答案】C

【解析】由题意可知，这两个圆相交或相切，当它们相交时，有2条公切线；当它们内切时，有1条公切线；当它们外切时，有3条公切线。因此这两个圆的公切线最多有3条。

【例26】3颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这3颗卫星距地球最短距离为（　　）。

A．R　

B．2R　

C．R

D．R

【答案】A

【解析】设地球为球形，三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点，由直角三角形中30°角的性质可知，气象卫星距离地心的距离为2R，则气象卫星距离地球的最近距离为R。